函数单调性的判断或证明方法.
（ 1）定义法。

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、
配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

例 1. 判断函数在(－1，＋∞ )上的单调性，并证明．
解：设－ 1<x1<x2，
则 f(x 1) － f(x 2) ＝－
＝
＝
∵－ 1<x1<x2，
∴x1－ x2<0， x1＋ 1>0， x2＋ 1>0.
∴当 a>0 时， f(x 1) － f(x 2)<0 ，即 f(x 1)<f(x ∴函数 y＝ f(x) 在 ( － 1，＋∞ ) 上单调递增．当 a<0 时， f(x 1) －f(x 2)>0 ，即 f(x
1)>f(x
∴函数 y＝ f(x) 在 ( － 1，＋∞ ) 上单调递减．
2)，2)，
例 2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。

（增两端，减中间）
证明：设，则
因为，所以,
所以，
所以
所以
设
则，
因为，
所以
所以
所以
，
同理，可得
（2）运算性质法 . ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，
增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增 +增=增；减 +减 =减；增 -减=增，减 -增=减）
②若.
③当函数
④ 函数
.
二者有相
反的单调性。

⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。

（ 3）图像法 . 根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。

例 3. 求函数的单调区间。

解：
在同一坐标系下作出函数的图像得
所以函数的单调增区间为
减区间为.
（4）复合函数法 . （步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数
的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性. ⑤若集合是内层函数
的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子
区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在
上也是单调函数，其单调性由“同增异减” 来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数
为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。

如下表：
增增增
增减减
减增减
减减增
例 4.求函数的单调区间
解原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；
易知是外层函数的单调增区间；
令，解得的取值范围为；
由于是内层函数的一个单调减区间，于是便是原函数的一个单调区间；
根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调减区间。

例 5 求函数的单调区间.
解原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；
易知和都是外层函数的单调减区间；
令，解得的取值范围为；
结合二次函数的图象可知不是内层函数的一个单调区间，但可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和，其中是其单调减区间，是其单调增区间；
于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调增区间，是原函数的单调减区间。

同理，令，可求得是原函数的单调增区间，是原函数的单调减区间。

综上可知，原函数的单调增区间是和，单调减区间是和.
（ 5）含参数函数的单调性问题.
例 .设（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.）解：由题意得原函数的定义域为
，
当上为减函数；
当上为增函数。

（6）抽象函数的单调性.（抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的
函数问题）
常采用定义法 .要充分利用已知条件，对变量进行合理赋值，并结合函数单调性的定义进
行证明。

例１已知函数对任意实数，均有．且当＞０时，
＞０，试判断的单调性，并说明理由.
解析：设，且，则－＞０，故＞０．
∴－＝－
＝＋－
＝＞０．
∴＜．故在（－，＋）上为增函数．
例 2.设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、 y，有
，求证：在R上为增函数。

证明：
在中取，得
若，令，则，与矛盾
所以，即有
当时，；
当时，而所以
当时，
所以对任意，恒有
设，则
所以
所以在 R上为增函数。