佛山市2018届普通高中高三教学质量检测（一）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后,将答题卷交回．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数5122iz i-=+的实部为（ ） A ．1- B ．0 C ．1D ．22．已知全集U R =，集合{}0,1,2,3,4A =，{}2|20B x x x =->，则图1中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2 图1C ．{}3,4D ．{}0,3,43．若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．3D ．94．已知x R ∈，则“22x x =+”是“x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．曲线1:2sin 6C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上所有点向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的12，得到曲线2C ，则2C （ ）A ．关于直线6x π=对称B ．关于直线3x π=对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称6．已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．157．当5,2m n ==时，执行图2所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．20 B ．42 C ．60 D ．1808．某几何体的三视图如图3所示，该几何体的体积为（ ）A ．212B ．15C ．332D ．189．已知()22xxa f x =+为奇函数，()()log 41xg x bx =-+为偶函数，则()f ab =（ ） A ．174 B ．52 C ．154- D ．32-10．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S =（ ）A B ．10 C ．D ．11．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，PA =PC =P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．24 B ．28π C ．32π D ．36π12．设函数322()32(0)f x x ax a x a =-+≠，若1212,()x x x x <是函数2()()g x f x a x λ=-的两个极值点，现给出如下结论：①若10λ-<<，则12()()f x f x <； ②若02λ<<，则12()()f x f x <； ③若2λ>，则12()()f x f x <； 期中正确的结论的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．13．设b a c b a λ+=-==),1,1(),2,1(，若c a ⊥，则实数λ的值等于 ． 14．已知0a >，()()412ax x -+的展开式中2x 的系数为1，则a 的值为 ．15．设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为 ．16．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c+的圆与过1F 的直线l 相切于点N ．设l 与C 的交点为,P Q ，若2PQ PN =，则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22,n n S a n R λλ=+∈．（Ⅰ）求λ的值； （Ⅱ）求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．18．(本题满分12分)有甲乙两家公司都愿意用某求职者，这两家公司的具体聘用信息如下：（Ⅰ）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（Ⅱ）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿做了统计，得到以下数据分布：若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的2K 的观测值为1 5.5513k ≈．请用统计学知识分析：选择意愿与年龄变量和性别变量中哪一个关联性更大？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．(本题满分12分)如图4，已知四棱锥ABCD P -中，CD AB //，AD AB ⊥，3=AB ,6=CD ,4==AP AD , ︒=∠=∠60PAD PAB .（Ⅰ）证明：顶点P 在底面ABCD 的射影落在BAD ∠的平分线上； （Ⅱ）求二面角C PD B --的余弦值.20．(本题满分12分)已知椭圆1C ：22221x y a b+=()00a b >>，的焦点与抛物线2C ：2y =的焦点F 重合，且椭圆右顶点P 到F 的距离为3-. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且满足PA PB ⊥，求PAB ∆面积的最大值.21．(本题满分12分) 已知函数x x a x x f 21ln )()(+-=（其中R a ∈）. （Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为x y 21=，求a 的值； （Ⅱ）若e a e221<<（e 是自然对数的底数），求证：0)(>x f .请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．22．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 2cos t y t x （t 为参数，πα<≤0），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 22cos 2y x （β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设C 与l 交于M ，N 两点（异于原点），求ON OM +的最大值.23．(本题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数R a a x x x f ∈-=,)(.（Ⅰ）求1)1()1(>-+f f ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式5()4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题1-5: BAABD 6-10:CCCDC 11、D 12：B二、填空题13. 5- 14.12 15. 1316.2 三、解答题17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的通项为)0(≠+=k b kn a n ，则2)2(2)(1b k kn n a a n S n n ++=+=， 由n a S n n λ+=22可得n b kn b k kn n λ++=++2)()2(即2222)2()2(b n kb n k n b k kn +++=++λ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=02222b kb b k k k λ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===101λλb k所以1=λ.（Ⅱ）由（Ⅰ）得知n a S n n +=22，当1=n 时，12211+=a a ，得11=a 所以n n d n a a n =-+=-+=11)1(1， 所以)121121(21)12)(12(111212+--=+-=+-n n n n a a n n所以11111111[(1)()()](1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++. 18.解：（Ⅰ）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量,X Y ， 则()60000.470000.380000.290000.17000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=,()50000.470000.390000.2110000.17000E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()222(60007000)0.4(70007000)0.3(80007000)0.2D X =-⨯+-⨯+-⨯22(90007000)0.11000+-⨯=()222(50007000)0.4(70007000)0.3(90007000)0.2D Y =-⨯+-⨯+-⨯22(110007000)0.12000+-⨯=,则()()()(),E X E Y D X D Y =<,我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（Ⅱ）因为10.5513 5.024k =>，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的22⨯列联表：计算221000(5000070000)20006.734600400450550297k -==≈⨯⨯⨯ 2 6.734 6.635k =>，差表知得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.010.025<，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大.19.解：（Ⅰ）设点O 为点P 在底面ABCD 的射影，连接AO PO ,，则PO ⊥底面ABCD ， 分别作,OM AB ON AD ⊥⊥，垂足分别为,M N ，连接,PM PN ， 因为PO ⊥底面ABCD ,AB ⊂底面ABCD ，所以PO AB ⊥， 又OM AB ⊥,OM OP O = ，所以AB ⊥平面,OPM PM ⊂平面OPM ，所以AB PM ⊥，同理AD PN ⊥，即090AMP ANP ∠=∠=，又,PAB PAD PA PA ∠=∠=，所以AMP ANP ∆≅∆， 所以AM AN =，又AO AO =，所以Rt AMO Rt ANP ∆≅∆，所以OAM OAN ∠=∠，所以AO 为BAD ∠的平分线.（Ⅱ）以O 为原点，分别以,,OM ON OP 所在直线为,,x y z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为4PA =，所以2AM =，因为,AB AD AO ⊥为BAD ∠的平分线，所以045,2,OAM OM AM AO ∠====PO =则(2,1,0),(0,0,(2,2,0),(2,4,0)B P D C ---， 所以(4,3,0),(2,2,22),(0,6,0)DB DP DC === 设平面BPD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则11111114302220n DB x y n DP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，可取1(32,n =-， 设平面PDC 的一个法向量为2222(,,)n x y z=，则由22211160220n Dc y n DP x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，可取2(2,0,1)n =-，所以121212cos ,18n n n nn n ⋅===⋅ ，所以二面角B PD C --.20.解：（Ⅰ）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得a b >， 且33,1F c a c a b =-=-== ，所以椭圆1C 的方程为2219x y += . （Ⅱ）依题意，可设直线,PA PB 的斜率存在且不为零， 不妨设直线:(3)PA y k x =-，则直线1:(3)PB y x k=--， 联立：22(3)19y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(19)54(819)0k x k x k +-+-=，则2619PA k =+同理可得：222661919k PB k k ==++⋅，所以PAB ∆的面积为：22222222118(1)18(1)32(19)(9)9(1)648k k k k S PA PB k k k k ++===≤=++++， 当且仅当23(1)8k k +=，即k =是面积取得最大值38. 21. （Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，()3ln 22a f x x '=-+ ， 由题意知00000000121()ln 231ln 22y x y x a x x a x x ⎧=⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪-+=⎪⎩，则0000()ln 0ln 10x a x ax x-=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得01,1x a ==或0,1x a a ==，所以1a =.（Ⅱ）令()()3ln 2a g x f x x x '==-+，则()21ag x x x'=+，因为12a e <<()20x a g x x+'=>，即()g x 在(0,)+∞上递增，以下证明在()g x 区间(,2)2aa 上有唯一的零点0x ，事实上31()ln ln 222222a a a a g a =-+=-，3(2)ln 2ln 2122a g a a a a =-+=+因为12a e <<1()ln0222a g <-=，1(2)ln(2)102g a e<⋅+=， 由零点的存在定理可知，()g x 在(,2)2aa 上有唯一的零点0x ， 所以在区间0(0,)x 上，()()()0,g x f x f x '=<单调递减； 在区间0(,)x +∞上，()()()0,g x f x f x '=>单调递增， 故当0x x =时，()f x 取得最小值00001()()ln 2f x x a x x =-+， 因为0003()ln 02ag x x x =-+=，即003ln 2a x x =-， 所以20000000315()()()222a a f x x a x x x x x =--+=--，即00001()()(2)2af x x a x x =--. 0)(),2,2(00>∴∈x f a a x ,故当e a e221<<时，0)(>x f22.解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，化简得224x y y +=，则24sin ρρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为24sin ρρθ=. （Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0,2)，也就是圆C 的圆心，则2MON π∠=，不妨设12(,),(,)2M N πρθρθ+，其中(0,)2πθ∈，则124sin 4sin()4(sin cos )()24OM ON ππρρθθθθθ+=+=++=+=+ ，所以当4πθ=，OM ON +取得最大值为.23.解：（Ⅰ）()()11111f f a a +-=--+>，若1a ≤-，则111a a -++>，得21>，即1a ≤-时恒成立， 若11a -<< ，则1(1)1a a --+>，得12a <-，即112a -<<-， 若1a ≥，则(1)(1)1a a ---+>，得21->，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是1(,)2-∞-.（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，只需()max min5[]4f x y y a ⎡⎤≤++-⎢⎥⎣⎦， 当(,]x a ∈-∞时，()[]22max,()()24a a f x x ax f x f =-+==，因为5544y y a a ++-≥+，所以当5[,]4y a ∈-时，min555444y y a a a ⎡⎤++-=+=+⎢⎥⎣⎦， 即2544a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是]5,0(.。