2010年高考福建理科数学试题及答案第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于 A ．12B 3C 2D 32．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++=C ．220x y x +-= D ．2220x y x +-=3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S 。

若111a =-，466a a -=-，则当n S 取最小值时，n 等于 A ．6B ．7C ．8D ．94．函数2230()2ln 0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，，，的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．如图，若Ω是长方体1111ABCD A B C D -被平面EFGH 截去几何体11EFGHB C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台7．若点O 和点(20)F -，分别为双曲线2221x y a-=（0a >）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP 的取值范围为A ．[3- +∞） B ．[3+ +∞） C ．[74-， +∞） D ．[74， +∞） 8．设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称。

对于1Ω中的任意点A 与2Ω中的任意点B ，||AB 的最小值等于 A ．285B ．4C ．125D ．29．对于复数a b c d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，时，b c d ++等于A ．1B ．-1C ．0D ．i10．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k b ，为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x m h x g x m <-<⎧⎨<-<⎩，，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”。

给出定义域均为D={}1x x >的四组函数如下： ①2()f x x =，()g x =()102x f x -=+，()g x =23x x-； ③()f x 21x x +，()g x =ln 1ln x x x+；④22()1x f x x =+，()2(1)xg x x e -=--。

其中，曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是 A ．①④ B ．②③C ．②④D ．③④第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

11．在等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a = 。

12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积．．．等于 。

13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续．．正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。

假设某选手正确回答每个问题的概率都是0．8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。

14．已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图像的对称轴完全相同。

若[0]2x π∈，，则()f x 的取值范围是 。

15．已知定义域为(0)+∞，的函数()f x 满足：（1）对任意(0)x ∈+∞，，恒有(2)2()f x f x =成立；（2）当(12]x ∈，时()2f x x =-。

给出结论如下：①对任意m Z ∈，有(2)0mf =；②函数()f x 的值域为[0)+∞，；③存在n Z ∈，使得(21)9nf +=；④“函数()f x 在区间()a b ，上单调递减”的充要条件是“存在k Z ∈，使得1()(22)k k a b +⊆，，”。

其中所有正确结论的序号是 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分） 设S 是不等式260x x --≤的解集，整数．．m n S ∈，。

（Ⅰ）记“使得0m n +=成立的有序数组．．．．()m n ，”为事件A ，试列举A 包含的基本事件；（Ⅱ）设2m ξ=，求ξ的分布列及其数学期望E ξ。

17．（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点(23)A ，，且点(20)F ，为其右焦点。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。

18．（本小题满分13分）如图，圆柱1OO 内有一个三棱柱111ABC A B C -，三棱柱的 底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径。

（Ⅰ）证明：平面11A ACC ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）设1AB AA =。

在圆柱1OO 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱111ABC A B C -内的概率为p 。

（ⅰ）当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值；（ⅱ）记平面11A ACC 与平面1B OC 所成的角为θ（0°＜θ≤90°）。

当p 取最大值时，求cos θ的值。

19．（本小题满分13分）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

20．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数3()f x x x =-，其图象记为曲线C 。

（ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（ⅱ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(())P x f x ，处的切线交于另一点222(())P x f x ，，曲线C 与其在点2P 处的切线交于另一点333(())P x f x ，，线段12P P 、2P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S 1，S 2，则12S S 为定值； （Ⅱ）对于一般的三次函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠，请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明。

21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。

如果多做，则按所做的前两题记分。

作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵11a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2c N o d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2020MN ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。

（Ⅰ）求实数a b c d 、、、的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程。

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A B 、。

若点P 的坐标为（3，求||||PA PB +。

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-。

（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

2010年高考福建理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C1．cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.12B.3C.2D. 2【答案】A【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A 。

【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。

2．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=0 【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。

3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于A.6B.7C.8D.9 【答案】A【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =，所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

4．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。