2010年高考试题——数学（理）（福建卷）解析第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B ．33C ．22D ．32【答案】A【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A 。

【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。

2．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A ．22x +y +2x=0B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。

3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =， 所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

4．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。

【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。

所以EH ∥FG ，故EH ∥FG ∥11B C ，所以选项A 、C 正确；因为11A D ⊥平面11ABB A ，EH ∥11A D ，所以EH ⊥平面11ABB A ，又EF ⊂平面11ABB A ， 故EH ⊥EF ，所以选项B 也正确，故选D 。

【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。

7．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )A ．[3-23,)+∞B ．[323,)++∞C ．7[-,)4+∞ D ．7[,)4+∞【答案】B【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以214a +=，即23a =，所以双曲线方程为2213x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3)3x y x -=≥，解得220001(3)3x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+ ，00(,)OP x y = ，所以2000(2)OP FP x x y ⋅=++ =00(2)x x ++2013x -=2004213x x +-，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x =-，因为03x ≥，所以当03x =时，O P F P ⋅ 取得最小值432313⨯+-=323+，故OP FP ⋅ 的取值范围是[323,)++∞，选B 。

【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

8．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( ) A ．285B ．4C ． 125 D ．2【答案】B【解析】由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为|31419|245⨯-⨯-⨯=，所以选B 。

A ． ①④B ． ②③C ．②④D ．③④ 【答案】C【解析】经分析容易得出②④正确，故选C 。

【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。

二、填空题11．在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a = ． 【答案】n-14【解析】由题意知11141621a a a ++=，解得11a =，所以通项n a =n-14。

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属基础题。

12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．【答案】6+23【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为324234⨯⨯=，侧面积为3216⨯⨯=，所以其表面积为6+23。

【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。

13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。

假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。

【答案】0．128【解析】由题意知，所求概率为2425C 0.80.2=0.128⋅⋅。

【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。

14．已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6πωω和g(x)=2cos(2x+)+1ϕ的图象的对称轴完全相同。

若x [0,]2π∈，则f(x)的取值范围是 。

【答案】3[-,3]2【解析】由题意知，2ω=，因为x [0,]2π∈，所以52x-[-,]666πππ∈，由三角函数图象知：f(x)的最小值为33sin (-)=-62π，最大值为3sin =32π，所以f(x)的取值范围是3[-,3]2。

【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。

15．已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：①对任意x 0∈+∞（，），恒有f(2x)=2f(x)成立；当x ]∈（1，2时，f(x)=2-x 。

给出如下结论：①对任意m Z ∈，有m f(2)=0；②函数f(x)的值域为[0+∞，）；③存在n Z ∈，使得nf(2+1)=9；④“函数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得 1(,)(2,2)k k a b +⊆”。

其中所有正确结论的序号是 。

【答案】①②④【解析】对①，因为m2>0，所以m f(2)=0，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。

【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。

ξ0 1 4 9P16 1313 16所以E ξ=106⨯+113⨯+143⨯+196⨯=196。

17．（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点。

（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。

【解析】（1）依题意，可设椭圆C 的方程为22221(a>0,b>0)x y a b+=，且可知左焦点为概率为p 。

（i ）当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值；（ii ）记平面11A ACC 与平面1B OC 所成的角为θ(0<90)θ≤，当p 取最大值时，求cos θ的值。

【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。

【解析】（Ⅰ）因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥BC ，因为AB 是圆O 直径，所以BC ⊥AC ，又AC ⋂1AA A =，所以BC ⊥平面11A ACC ， 而BC ⊂平面11B BCC ，所以平面11A ACC ⊥平面11B BCC 。

（Ⅱ）（i ）设圆柱的底面半径为r ，则AB=1AA =2r ，故三棱柱111ABC-A B C 的体积为11V =AC BC 2r 2⋅⋅=AC BC r ⋅⋅，又因为2222AC BC =AB =4r +，所以22AC +BC AC BC 2⋅≤=22r ，当且仅当AC=BC=2r 时等号成立，从而31V 2r ≤，而圆柱的体积23V=r 2r=2r ππ⋅，故p =313V 2r 1=,V 2r ππ≤当且仅当AC=BC=2r ，即OC AB ⊥时等号成立， 所以p 的最大值是1π。

（ii ）由（i ）可知，p 取最大值时，OC AB ⊥，于是以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz （如图），则C （r ，0，0），B （0，r ，0），1B （0，r ，2r ），因为BC ⊥平面11A ACC ，所以BC=(r,-r,0)是平面11A ACC 的一个法向量，设平面1B OC 的法向量n=(x,y,z) ，由1n OC020n OB rx ry rz ⎧⊥=⎧⎪⎨⎨+=⊥⎩⎪⎩得，故02x y z =⎧⎨=-⎩， 取1z =得平面1B OC 的一个法向量为n=(0,-2,1) ，因为0<90θ≤， 所以210cos |cos ,BC |=5||||52n BCr n n BC rθ⋅===⋅⋅。

19．（本小题满分13分）O 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。

在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。

假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。