：
式中 rt r
r r t , rt r 0
， r t r
9
曲面族的包络： 设有曲面 用向量方程表示： ： r r u, v
式中 u，v 是曲面 的几何参数。 再设曲面 以 为参数运动，得到曲面族 ，其方程为: ：
P a3, d4 ,0 3
1 1 T3 P 3 3

0 3
1 Rot ( z1,1) 3
利用包络公式可求出包络条件，并与上式联立，即得该 曲面方程 。
15
腕点工作空间
16
PUMA560型机器人无结构限制时的工作空间轴剖面
17
2、图解法 用图解法求工作空间，得到的往往是工作空间的各类别 截面(或削截线)。它直观性强，便于和计算机结合，以显 示在可达点操作机的构形特征。 在应用图解法时．也将关节分为两组，即前三关节和后 三关节(有时为两关节或一关节)，前三关节称位置结构， 主要确定工作空间大小，后三关节称定向结构，主要决定 手部姿势。首先分别求出该两组关节所形成的腕点空间和 参考点在腕坐标系中的工作空间，再进行包络整合。
空间。
1——空腔；2——空洞
23
二、空洞及空腔约形成条件 1、空洞的形成条件及其判别
工作空间 Wn ( Pn )与其后级旋 转轴 zn 1 若不相交，则在该旋 转轴的周围形成空洞。 空洞存在与否可根据前级空 间Wn ( Pn ) 和后级旋转轴 zn 1之 间的最小距离来判断。 若 Rxmin 0 。 则不存在空 洞； 若 Rxmin 0 则存在空洞。
6.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递 在操作机中，任取两连杆LJ， lfl，，如图7—1。设在杆Lf*，上 作用在点o‘t，有力矩肋lh和力扩 ft：；在杆』f上作用有自屋C 〔道质
Li
心c刀，rf和rcf分别为山o。到 o‘t*和cl的向径rl(或记为rj“l)和 r‘，(或记为rf．。l)。
式中
r u rLeabharlann u ，r v r
v
r r
，r r
11
若母线 和母面 ，以及 ， 都是参数方程形式给 ， 出的，则可从上三式导出更便于计算的形式，如：
v
，r r

10
若 再以 为参数运动，得到曲面族 ，其包络（称为 二次包络） 的方程为:
：

r r u , v, , (ru r v) r a 0 (ru r v) r 0
仿鱼机器人
仿鸟机器人
31
1.3.3 机器人的性能要素
自由度数 衡量机器人适应性和灵活性的重要指标，一般 等于机器人的关节数。机器人所需要的自由度数决定与其 作业任务。 负荷能力 机器人在满足其它性能要求的前提下，能够承 载的负荷重量。 运动范围 机器人在其工作区域内可以达到的最大距离。 它是机器人关节长度和其构型的函数。
C4 C3 C2
4
C1
3）圆C1到圆C2之间；圆C3到圆C4之间两环形面积即为次工作 空间。
由此可以看出： 1) 在Wp(P)中的任意点为全 方位可达点。 2)在 C1 和 C4 圆上的任一点， 只可实现沿该圆的切线方 向的运动。 3)末杆H越长，即h越大，C1 越大， C4 越小，总工作空 C4 间越大；但相应的灵活工 作空间则由于 C2 的增大和 C3的减小而越小。 4)工作空间同时受关节的转角限制。
下面取两旋转关节进行图解讨论。
18
若
Zn Zn-1
n1 0
Zn
Zn-1
Zn-1
Zn
19
若
n1 90
Zn-1
Zn-1
20
例2 用图解法考察Motorman型机器人操作机的工作空间。
21
22
5.3 工作空间中的空洞和空腔
一、定义 空洞——在转轴 zi 周围，沿z的全长参考点Pn均不能达到 的空间。 空腔——参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的
C3 C2
C1
5
5.1.2 工作空间的两个基本问题
1)给出某一结构形式和结构参数的操作机以及关节变量的变 化范围，求工作空间。称为工作空间分析或工作空间正问题。
2)给出某一限定的工作空间，求操作机的结构形式、参数和 关节变量的变化范围。称工作空间的综合或工作空间逆问题。
5.2 工作空间的形成及确定 5.2.1 工作空间的形成
下面以平面3R操作机为例，说明上述基本概念。
如图所示的3R操作机，由三杆L1，L2，和H组成。后两杆的 长度之和小于L1的长度。取手心点P 为末端执行器的参考点， 令l1，l2 分别为l1，l2 杆的长度，h为手心点P 到关节点O8 的 长度(即H杆的长度)，则： 1) 圆C1:半径为 R1 l1 l2 h ， 圆C4:半径为 R4 l1 l2 h ， 分别是该操作机的总工作空 间的边界。它们之间的环形 而积即W(P) 。 2）圆C2:半径为 R4 l1 l2 h ， 圆C3:半径为 R1 l1 l2 h ， 分别是灵活工作空间的边界。 它们之间的环形面积即Wp(P)。
式中t是曲线 的几何参数。
再设曲线 以 为参数运动，则在空间相应于不同的 ，就 形成了一系列的以 为母线的曲线族。记作，其方程为: ： r r t , x t , , y t , , z t , 式中 是曲线 的运动参数。 曲线族的包络方程为：
0 3 3 n 3 n 0 3 0 n
可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面（线）族的包 络问题。
8
； 分别用 、 ；、 、 表示母线、母面，曲线族、曲 面族以及它们的包络。 曲线族的包络： 设有曲线 用向量方程表示： ： r r t x t , y t , z t
r r u, v,
r r u , v, (r u r v ) r a 0
曲面族的包络 的方程为：
：
式中 r u r
， v r u r
Wn ( j 1) ( Pn ) Rot ( Z n j , n j ) Wn j ( Pn )
Zn-1 Zn-2
Zn
Pn — 末杆上的参考点； W(*) —参考点占据的工作空间。
工作空间边界上的界限点构成界限 曲面。界限曲面可以用不同方法求出。
6
Pn
5.2.2 工作空间的确定
24
2．空腔的形成条件及其判别
在Wn1 ( Pn ) 空间中形成空腔的必要条件是在 Wn ( Pn ) 工作 空间中存在空洞，但这还不是形成空腔的充分条件。
25
Zn-1
26

第六章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。 机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。 机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此 很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的 控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机 器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器 人动力学研究者追求的目标。 27
1、解析法 由操作机工作空间的形成可以看出，其工作空间 W0 ( Pn ) 的 界限曲面 W0 ( Pn ) 可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成 的曲线族或曲面族的包络。因此，多次运用单参数曲面族的 包络公式能够顺序求得工作空间的界限曲面。 若在空间有一条曲线 存在，它上面的每一个点都是与曲 线族 中的每一条曲线相切的切点，曲线中的不同的线与 相切于不同点，称 为该曲线族的包络。 若存在一曲面 ，与曲面族中的任一曲面都沿一条曲 线 Ct 相切，这时 就称作该曲面族的包络。
机器人技术
陶建国
哈尔滨工业大学机电学院 2005. 2.
第五章 5.1 概述
机器人操作机工作空间
工作空间是从几何方面讨论操作机的工作性能。B．Roth 在1975年提出了操作机工作空间的概念。
5.1.1 基本概念
操作机的工作空间：机器人操作机正常运行时，末端执 行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原 点可达点占有的体积空间。这一空间又称可达空间或总工 作空间，记作W(P)。 灵活工作空间：在总工作空间内，末端执行器可以任意 姿态达到的点所构成的工作空间。记作Wp (P)。 次工作空间：总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的 部分。记作Ws (P)。 2
28
5、平面关节型 (SCARA) 仅平面运动有耦合性，控制较通用关节型简单。但运动 灵活性更好，铅垂平面刚性好。
SCARA型装配机器人
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二、特种机器人
仿生型 自由度一般较多，具有更强的适应性和灵活性，但控制 更复杂，成本更高，刚性较差。
类人型机器人
蛇形机器人
仿狗机器人
30
六足漫游机器人
六轮漫游机器人
式中
12
例1 用解析法考察PUMA560型机器人在关节变量无结构限制 ＜360。。)的工作空间界限曲面 条件下(即0＜
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将O4= O5= O6= P3定为手腕点，6个关节分为两组：后三关 节(4，5，6)为轴线交于W 的旋转关节；前三关节另一组。
在末杆上取参考点P6(可取手心点)，对于后三关节一组