第三章空间向量与立体几何
§ 3.1空间向量及其运算
§ 3.1.1空间向量的线性运算
一、空间向量的概念
1、空间向量：空间中既有______ 又有_______ 的量
__ 」 A ► B T彳
2、空间向量的表示：AB = a （）（）
3、零向量：________________________________ 记作： _______
4、向量的模（长度）：________________________________ 记作：___________
5、向量的基线：表示向量的有向线段所在的直线
6、相等向量：_____________________________________________
7、共线向量（平行向量）：基线互相________ 或______________
记作：______________
规定：零向量与任意向量平行。
二、空间向量的线性运算已知向量a，b
1、加法
2、减法
4 4^ T T T
a -
b 二a （-b） =0A AB 二_________ 二________
屮寸 T T
即a -b = OA -OC二 __________ （三角形法则）
3、数乘
（1）---------------- | a
■+4 i，扌（2）__________________________________ ■ ^0 时，a 与a 方向 _____ ；' =0 时，a=；' :：0 时，a 与a 方
向______ ；
4 4
注：a//a
三、空间向量运算律
的向量叫做共线向量或平行向量。
a b =0A AB
a b =0A OB
________ （三角形法则）
_______ 平行四边形形法则）
注：若M为LOAB的边AB的中点，则OA 0B-
加法交换律：
_______________________________
加法结合律：_______________________________
分配律：___________________________________________
例题例1已知平行六面体ABCD—ABCD，,化简下列向量表达式
(2)DD - AB BC;
1
(3)AB AD —(DD -BC)
注：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量。
1
例2 M ,N分别是四面体ABCD的棱AB,CD的中点，求证：MN (AD • BC)
2 练习：课本81页练习A第3题；练习B第1,2,3题作业课时十七
(1)
(2)
(3)
四、
AD
五、
§ 3.1.2空间向量的基本定理
一、 共线向量定理
T T
4 4 两个空间向量a , b （ ）, a//b 的充要条件是存在唯一的实数 x ，使 ______________
例1四边形ABCD,ABEF 都是平行四边形,
C E ，MN 是否共线
共面向量定理
1、 共面向量定理：平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
2、 共面向量定理：如果 a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b
共面的充要条件是，存在唯一的
三、 空间向量分解定理 如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量
p ，存在一个唯一的有序实数组 x,y,z ，使 斗 4 H 4 4^4
p =xa yb zc ，其中｛a,b,c ｝叫做空间的一个 ___________ ，a,b,c 叫做 _______________ 。
一 T 4 -+ H H 4
T ” 例3已知平行六面体ABCD 一 ABC D ，设AB =a,AD 二b,AA ” = c ，试用基底｛a, b,c ｝表示 以下向量： AC ；BD,CA ,DB
一对实数x, y ，使
T T T 屮 T 4 例2已知斜三棱柱 ABC - A B C ，设AB = a, AC = b, AA = c ,在面对角线AC 上和棱BC 上 ―I
―IT T ― H 4 分别取点M ,N ，使AM =kAC ,BN =kBC （O Ek 乞1），求证：MN 和向量a,c 共面。
例4已知空间四边形OABC中，M,N分别是对边°A, BC的中点，点G在MN上，且MG = 2GN,设0A 二a,OB 二b,OC 二c，试用基底｛a, b,c｝表示向量
四、练习：课本85页练习A,练习B
五、作业：课时十八
§ 3.1.3两个向量的数量积
一 •两个向量的夹角
■I 4
已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点 4
b 的夹角，记作 _____________ . 规定：::a,b _________________
注：找两向量的夹角必须同起点
二•异面直线
1、异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线
2、异面直线所成的角：平移两条异面直线到同一个平面内，两条直线所成的 __________
叫做两条异面直线所成的角 •如果两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂
直•
规定：异面直线所成角的取值范围是 _____________________
例1正方体ABCD - A B C D 中，求下列向量的夹角
（1）AB 与AC ；⑵ AB 与CA ；（3）AB 与AD ;
(4) A
B 与 BA]® A
C 与 BA ；( © AC 与 C
D 注：设直线AB 与CD 所成的角为"，则cos 二 _______________ cos ”： AB, CD
三、两个向量的数量积
4 *
空间两个向量a ， b 一定可以平移到同一平面内 1、定义:
TO OB = b 则N AOB 叫做向量a , (1)
(2)
(3)
b 方向相同时，：::a,b = b 方向相反时， a,b 匸 b 垂直时,
a・b=|a||b|cos：：：a,b -叫做两个空间向量b的数量积（或内积），它是一个实数
2、性质:
（1）_____________________________________ （2） _______________________________________ （3）_____________________________________ （4） _______________________________________
3、运算律：
（1）___________________________________________________________________
（2）___________________________________________________________________
（3）___________________________________________________________________
例2长方体ABCD - AB C D ■中,AB 二AA =2,AD
中点，计算下列数量积：
（1）BC ・ED 华）BF * AB ；（3）EF «FC
例 3 已知l a l = 2'2，l b^-22,a*b= 2，求：:a,b
四、练习：课本88页练习A练习B
四、作业：课时作业十九
§ 3.1.3空间向量的直角坐标运算
」、空间向量的直角坐标运算
=(耳，a 2,a 3),b = (b | , b 2,b 3)
2.
3.
注: i.P(x,y,z),则 OP 二
2. A(X i ，%忆),B =(X 2, y 2，Z 2)，则 AB =
二、空间向量平行和垂直的条件
1. a//b(b^O) = 2 a 丄 b=
三、两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
a =(ai,a 2,a 3),
b fbd)，则 l a F
IbF cos ： a,b 二 注：_1. A(X i ,y i ,Z i ),B 二区以乙)，则 | AB|=
四、例题 例 i 已知向量 a =(I,I,0), b= ( 0 , i, (I,0,I), p 二a — b, q=a2b —c
■4 4 -J 4
求 p ，q ， p *q
例2已知向量a =(-2,2,0), b = (- 2 , 0 ,求一个向量n 使n —a 且n — b 1. a _b 二
例 3 已知A(1,1,0)>B =(0,3,0),C(2,2,3),
求(1)cos ：：AB, AC - ；(2) AC在上正投影的数量积。