→ e ( 0 ) ph ( t ) ∆ τ → e(∆ τ ) ph ( t )∆ τ
第k个矩形脉冲 个矩形脉冲
e( k∆τ ) p( t − k∆τ )∆τ
→ e( k∆τ ) ph ( t − k∆τ )∆τ
e(t )
e(0) o ∆τ 2∆τ ∆ r(t) ∆ k∆τ (k+1)∆τ ∆
t k∆τ : 脉冲作用时刻 ∆
kHale Waihona Puke =0 NN= ∑ e( k∆ τ )
k =0 N
1 [ε ( t − k∆ τ ) − ε ( t − ( k + 1)∆ τ )]∆ τ ∆τ
单位脉冲函数的延时
= ∑ e( k∆ τ ) p( t − k∆ τ ) ∆ τ
k =0
若 单位脉冲函数 p ( t ) 的响应为 h p ( t ) 则 第1个矩形脉冲 e( 0) p( t )∆τ 个矩形脉冲 第2个矩形脉冲 e(∆ τ ) p( t )∆ τ 个矩形脉冲
t'
τ
f1(t-τ)
1
2
f1(τ ) f2(t-τ )
0 t
1 t'
-1
0 t
f2(τ) f1(t-τ)
1
t’
τ
τ
-1
2 1 0 t
τ
f1(t)* f2(t)
f1(t)* f2(t)
积
0 t 1 t’
τ
0
t 1 t’
τ
由图解过程确定积分上下限： 由图解过程确定积分上下限：
f1 ( t ) * f 2 ( t ) = 2[ε ( t ) − ε ( t − 1)] * e − t
t 0
f 2 (t ) = e− t ε (t )
参变量 积分变量
f1 ( t ) * f 2 ( t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 ( t − τ )dτ
被积函数
f1(τ )
2
0 1
1
f2(τ )
0
f2(-τ)
τ τ
-1
卷 移 乘
1
0
f1(-τ)
2
1
τ
f2(t-τ )
1
0
τ
t’-1
0 t 1 2
性质2 性质
f1 ( t ) * [ f 2 ( t ) + f 3 ( t )] = f1 ( t ) * f 2 ( t ) + f1 ( t ) * f 3 ( t )
性质3 性质
[ f1 ( t ) * f 2 ( t )] * f 3 ( t ) = f 1 ( t ) * [ f 2 ( t ) * f 3 ( t )]
0 t
= ∫ 2e −τ × 100e − 0.2( t −τ ) dτ
0
t
= 200e
− 0.2 t
∫e
0
t
− 0.8τ
dτ = 200e
− 0.2 t
1 (e − 0.8 t − 1) × − 0 .8
= 250(e −0.2 t − e − t ) V
例2. 解
f1 (t ) = 2[ε (t ) − ε (t − 1)], 求 f1 ( t ) * f 2 ( t )
6.10 卷积积分
一、卷积积分(Convolution)的定义 卷积积分 的定义 定义： 定义： 设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零 ，
f 1 ( t ) * f 2 ( t ) = ∫ f 1 (τ ) f 2 ( t − τ )dτ
0
t
二、卷积积分的性质 性质1 性质
f1 ( t ) * f 2 ( t ) = f 2 ( t ) * f1 ( t )
当e( t )分割得足够细 , 即N → ∞
激励 e ( t ) = lim
N →∞
∑ e(k∆ τ ) p(t − k∆ τ ) ∆ τ
k =0
N
δ (t − τ )
冲激
脉冲
响应 r ( t ) = lim ∑ e ( k∆ τ )h p ( t − k∆ τ )∆ τ
积分
N →∞ k =0
N
脉冲响应
t
t
t ：观察响应时刻
0
∆τ 2∆τ ∆
N
k∆τ (k+1)∆τ ∆ ∆
t
t 时刻观察到的响应 应为 0 ~ t 时间内所有 激励产生的响应的和
激励 e ( t ) ≈
∑ e ( k∆ τ ) p( t − k∆ τ ) ∆ τ
k =0
k =0
响应 r ( t ) ≈ ∑ e( k∆τ ) h p ( t − k∆τ )∆τ
t
证明 f1 ( t ) * f 2 ( t ) = ∫0 f1 (τ ) f 2 ( t − τ )dτ
= ∫ f1 ( t − ξ ) f 2 (ξ )( − dξ )
t
t 0
0
令 ξ = t −τ τ ：0 t ξ: t 0
= ∫ f 1 ( t − ξ ) f 2 (ξ )dξ = f 2 ( t ) * f 1 ( t )
∞
筛分性
性质4 性质 f ( t ) * δ ( t ) = δ ( t ) * f ( t ) = ∫ − ∞δ (τ ) f ( t − τ )dτ = f ( t ) f (t ) * δ (t − t0 ) = δ (t − t0 ) * f (t ) = f (t − t0 ) 三、卷积积分的应用
τ e-(t-τ) τ e-(-τ)
2
1 0 0 1
t<0
f (t ) = 0
f ( t ) = ∫ 2e − ( t −τ )dτ = 2 − 2e − t
0 1 0 t
τ
t t
0≤ t <1 t ≥1
t
1
f ( t ) = ∫ 2e − ( t −τ )dτ = 2e − ( t −1) − 2e − t
uC(∞)=0 ∞
τ = RC = 500 × 10 3 × 10 −5 = 5 s
∴ h( t ) = 100e −0.2 t ε ( t )V
再由卷积积分计算当 iS=2e−tε (t) mA 时的响应 uC ( t ):
uC ( t ) = i S ( t ) * h( t ) = ∫ i S (τ )h( t − τ )dτ
h( t − τ )
冲激响应
当 N → ∞ , ∆ τ → d τ , k∆ τ → τ
r ( t ) = ∫ e(τ )h( t − τ )dτ
0
t
t 参变量 观察响应时刻 参变量(观察响应时刻 观察响应时刻)
τ 积分变量（激励作用时刻） 积分变量（激励作用时刻）
例1. iS R iC C + uC −
已知： 已知：R=500 kΩ , C=10 µF , uC(0−)=0 Ω
i S = 2e − t ε ( t ) mA
求： uC(t)。 。
解：先求该电路的冲激响应 h(t)
i S = δ ( t ) mA
1 uC (0 ) = C
+
1 ∫ 0 − iS dt = C
0+
∫
0+ 0−
10 −3 δ ( t )dt = = 100V C
2
1 -1 0 0
τ e-τ
t<0
τ
0≤ t <1
f (t ) = 0
f ( t ) = ∫ 2e −τ dτ = 2 − 2e − t
0 t
t-1
t
1
t t
t ≥1
f ( t ) = ∫ 2e −τ dτ = 2e − ( t −1) − 2e − t
t −1
t
e(t )
e(0) o ∆τ 2∆τ ∆ ∆ k∆τ (k+1)∆τ ∆
t
e( t ) ≈ e(0)[ε ( t ) − ε ( t − ∆ τ )] + e(∆ τ )[ε ( t − ∆ τ ) − ε ( t − 2∆ τ )] + L
= ∑ e( k∆ τ )[ε ( t − k∆ τ ) − ε ( t − ( k + 1)∆ τ )]
δ (t )
e(t) r(t) r ( t ) = e ( t ) * h( t )
即
线性网络 零状态
t
h(t)
r ( t ) = ∫ e(τ )h( t − τ )dτ
0
看成一系列宽度为∆ 看成一系列宽度为 物理解释: 物理解释 将激励 e(t)看成一系列宽度为∆τ ，高度为 e(k∆τ )矩形脉冲叠加的。 矩形脉冲叠加的。 ∆ 矩形脉冲叠加的