《完全平方公式》拓展训练一、选择题1．若a=4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．202．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．213．若a、b、c是正数，下列各式，从左到右的变形不能用如图验证的是（）A．（b+c）2=b2+2bc+c2B．a（b+c）=ab+acC．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2acD．a2+2ab=a（a+2b）4．已知x2﹣2kx+36是一个完全平方式，则k的值是（）A．±6B．±3C．6D．﹣65．下列关于962的计算方法正确的是（）A．962=（100﹣4）2=1002﹣42=9984B．962=（95+1）（95﹣1）=952﹣1=9024C．962=（90+6）2=902+62=8136D．962=（100﹣4）2=1002﹣2×4×100+42=92166．运用乘法公式计算（a﹣2）2的结果是（）A．a2﹣4a+4B．a2﹣2a+4C．a2﹣4D．a2﹣4a﹣4 7．小明在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是4x2+12xy+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（）A．3y2B．6y2C．9y2D．±9y28．观察下列各式及其展开式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3（a﹣b）4=a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4（a﹣b）5=a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5…请你猜想（a﹣b）10的展开式第三项的系数是（）A．﹣36B．45C．﹣55D．669．已知（m﹣n）2=32，（m+n）2=4000，则m2+n2的值为（）A．2014B．2015C．2016D．403210．已知：（x+y）2=12，（x﹣y）2=4，则x2+3xy+y2的值为（）A．8B．10C．12D．14二、填空题11．当m=时，关于x二次三项式x2﹣（m+1）x+（m+7）是完全平方式．12．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为．13．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是，宽是．14．观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……请你猜想（a+b）11的展开式第三项的系数是．15．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．（1）请仔细观察，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．（a+b）4=a4+4a3b+ a2b2+ ab3+b4（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过814天是星期．三、解答题16．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12，ab+bc+ac=47，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+8b）（17a+44b）长方形，求x+y+z的值．17．已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米，分别求出大正方形和小正方形的边长．18．我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272=（27+7）×20+72=729322=（32+2）×30+22=1024562=（56+6）×50+62=3136…（1）请根据上述规律填空：382==；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2=，并用所学知识说明你的结论的正确性．19．【知识生成】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．（1）如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：；（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b3的值．20．回答下列问题（1）填空：x2+=（x+）2﹣=（x﹣）2+（2）若a+=5，则a2+=；（3）若a2﹣3a+1=0，求a2+的值．《完全平方公式》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．若a=4+，则a2+的值为（）A．14B．16C．18D．20【分析】先将a=4+，整理成a﹣=4，再两边平方，展开整理即可得出结论．【解答】解：∵a=4+，∴a﹣=4，两边平方得，（a﹣）2=16，∴a2+﹣2=16，即：a2+=18，故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式，给a﹣=4两边平方是解本题的关键．2．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a2﹣ab+b2的值是（）A．37B．33C．29D．21【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵a+b=﹣5，ab=﹣4，∴a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=（﹣5）2﹣3×（﹣4）=37，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．3．若a、b、c是正数，下列各式，从左到右的变形不能用如图验证的是（）A．（b+c）2=b2+2bc+c2B．a（b+c）=ab+acC．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2acD．a2+2ab=a（a+2b）【分析】通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式或其它等式做出几何解释即可．【解答】解：依据①②③④四部分的面积可得，（b+c）2=b2+2bc+c2，故A能验证；依据⑤⑥两部分的面积可得，a（b+c）=ab+ac，故B能验证；依据整个图形的面积可得，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故C能验证；图中不存在长为a+2b，宽为a的长方形，故D选项不能验证；故选：D．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系，即可得到完全平方公式．4．已知x2﹣2kx+36是一个完全平方式，则k的值是（）A．±6B．±3C．6D．﹣6【分析】根据完全平方式得出2kx=±2•x•6，求出即可．【解答】解：∵x2﹣2kx+36是一个完全平方式，∴﹣2kx=±2•x•6，解得：k=±6，故选：A．【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式（有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2）是解此题的关键．5．下列关于962的计算方法正确的是（）A．962=（100﹣4）2=1002﹣42=9984B．962=（95+1）（95﹣1）=952﹣1=9024C．962=（90+6）2=902+62=8136D．962=（100﹣4）2=1002﹣2×4×100+42=9216【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．依此即可求解．【解答】解：A、962=（100﹣4）2=1002﹣2×100×4+42=9216，故选项错误；B、962=（95+1）（95+1）=952+2×95×1+1=9216，故选项错误；C、962=（90+6）2=902+2×90×6+62=9216，故选项错误；D、962=（100﹣4）2=1002﹣2×100×4+42=9216，故选项正确．故选：D．【点评】考查了完全平方公式，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．6．运用乘法公式计算（a﹣2）2的结果是（）A．a2﹣4a+4B．a2﹣2a+4C．a2﹣4D．a2﹣4a﹣4【分析】原式利用完全平方公式化简得到结果．【解答】解：原式=a2﹣4a+4，故选：A．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．小明在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是4x2+12xy+■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（）A．3y2B．6y2C．9y2D．±9y2【分析】根据4x2+12xy+■=（2x+3y）2得出即可．【解答】解：∵4x2+12xy+■是一个二项式的平方，∴■=（3y）2=9y2，故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2=a2+2ab+b2，②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．8．观察下列各式及其展开式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3（a﹣b）4=a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4（a﹣b）5=a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5…请你猜想（a﹣b）10的展开式第三项的系数是（）A．﹣36B．45C．﹣55D．66【分析】根据各式与展开式系数规律，确定出所求展开式第三项系数即可．【解答】解：根据题意得：第五个式子系数为1，﹣6，15，﹣20，15，﹣6，1，第六个式子系数为1，﹣7，21，﹣35，35，﹣21，7，﹣1，第七个式子系数为1，﹣8，28，﹣56，70，﹣56，28，﹣8，1，第八个式子系数为1，﹣9，36，﹣84，126，﹣126，84，﹣36，9，﹣1，第九个式子系数为1，﹣10，45，﹣120，210，﹣252，210，﹣120，45，﹣10，1，则（a﹣b）10的展开式第三项的系数是45，故选：B．【点评】此题考查了完全平方公式，弄清题中的规律是解本题的关键．9．已知（m﹣n）2=32，（m+n）2=4000，则m2+n2的值为（）A．2014B．2015C．2016D．4032【分析】根据完全平方公式，即可解答．【解答】解：（m﹣n）2=32，m2﹣2mn+n2=32 ①，（m+n）2=4000，m2+2mn+n2=4000 ②，①+②得：2m2+2n2=4032m2+n2=2016．故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．10．已知：（x+y）2=12，（x﹣y）2=4，则x2+3xy+y2的值为（）A．8B．10C．12D．14【分析】由于（x+y）2=12，（x﹣y）2=4，两式相加可得x2+y2的值，两式相减可得xy的值，再整体代入计算即可求解．【解答】解：∵（x+y）2=12①，（x﹣y）2=4②，∴①+②得2（x2+y2）=16，解得x2+y2=8，①﹣②得4xy=8，解得xy=2，∴x2+3xy+y2=8+3×2=14．故选：D．【点评】考查了完全平方公式．关键是根据已知条件两式相加求得x2+y2的值，两式相减得xy的值．二、填空题11．当m=2或﹣3时，关于x二次三项式x2﹣（m+1）x+（m+7）是完全平方式．【分析】本题要要满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种情况，用待定系数法即可求解．【解答】解：二次三项式x2﹣（m+1）x+（m+7）是完全平方式，故可以表示为：x2﹣（m+1）x+（m+7）=x2±2ax+a2化简为：m2+m﹣6=0解得：m=2或﹣3故答案为：2或﹣3．【点评】本题用到的知识点为完全平方公式a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2的两种情况，用待定系数法求解即可．12．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为5．【分析】由大三角形面积减去小三角形面积表示出阴影部分面积，将a+b与ab 的值代入计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：=a2﹣b（a﹣b）=a2﹣ab+b2=[（a+b）2﹣2ab]当a+b=7，ab=13时，S阴影﹣ab=5，故答案为：5【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解本题的关键．13．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是9cm，宽是4cm．【分析】设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的长减少5cm，宽增加2cm，组成正方形，且面积相等，列方程组求解．【解答】解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得，，解得：．故答案为：9cm，4cm．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．14．观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……请你猜想（a+b）11的展开式第三项的系数是55．【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）11的展开式第三项的系数．【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……∴依据规律可得到：（a+b）2第三个数为1，（a+b）3第三个数为3=1+2，（a+b）4第三个数为6=1+2+3，…（a+b）11第三个数为：1+2+3+…+9+10==55．故答案为：55．【点评】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．15．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．（1）请仔细观察，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．（a+b）4=a4+4a3b+ 6 a2b2+ 4ab3+b4（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过814天是星期四．【分析】（1）根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可；（2）根据814=（7+1）14=714+14×713+91×712+…+14×7+1可知814除以7的余数为1，从而可得答案．【解答】解：（1）（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，故答案为：6，4；（2）∵814=（7+1）14=714+14×713+91×712+…+14×7+1，∴814除以7的余数为1，∴假如今天是星期三，那么再过814天是星期四，故答案为：四．【点评】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n﹣1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．三、解答题16．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12，ab+bc+ac=47，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+8b）（17a+44b）长方形，求x+y+z的值．【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；（2）将a+b+c=12，ab+bc+ac=47代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）长方形的面积xa2+yb2+zab=（25a+8b）（17a+44b），然后运算多项式乘多项式法则求得（25a+8b）（17a+44b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．【解答】解：（1）正方形的面积可表示为=（a+b+c）2；正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．（2）由（1）可知：a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）=122﹣47×2=50．（3）∵长方形的面积=xa2+yb2+zab=（25a+8b）（17a+44b）=425a2+1236ab+352b2，∴x=425，y=352，z=1236∴x+y+z=2013．【点评】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．17．已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米，分别求出大正方形和小正方形的边长．【分析】设大小正方形的边长分别为a厘米，b厘米，根据周长与面积的关系列出关系式，求出a与b的值即可．【解答】解：设大小正方形的边长分别为a厘米，b厘米，根据题意得：4a﹣4b=96，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=960，把a﹣b=24代入得：a+b=40，解得：a=32，b=8，则大小正方形的边长分别为32厘米，8厘米．【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．18．我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：272=（27+7）×20+72=729322=（32+2）×30+22=1024562=（56+6）×50+62=3136…（1）请根据上述规律填空：382=（38+8）×30+82=1444；（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字n十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2=（10m+n+n）×10m+n2，并用所学知识说明你的结论的正确性．【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出即可；（2）根据已知算式得出规律，再求出即可．【解答】解：（1）382=（38+8）×30+82=1444，故答案为：（38+8）×30+82，1444；（2）（10m+n）2=（10m+n+n）×10m+n2，证明：∵（10m+n）2=（10m）2+2×10m×n+n2=100m2+20mn+n2，（10m+n+n）×10m+n2=100m2+20mn+n2，∴（10m+n）2=（10m+n+n）×10m+n2，故答案为：（10m+n+n）×10m+n2．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．19．【知识生成】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．（1）如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b3的值．【分析】（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积﹣中间小正方形的面积即：（a+b）2﹣（a﹣b）2又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成即：4ab即可求得；（2）大正方体被切割成了8个小正方体或长方体故而求它们的体积和，再直接求大正方体的体积可解的恒等式；（3）由（2）的结论将已知代入即可求得值．【解答】解：（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积﹣中间小正方形的面积即：（a+b）2﹣（a﹣b）2又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成即：4ab∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；（2）∵八个小正方体或长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）∵由（2）可知（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3∴a3+b3=（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2=（a+b）3﹣3ab（a+b）将a+b=3，ab=1代入上式可得a3+b3=33﹣3×1×3=18故a3+b3的值为：18．【点评】本题主要考查了平方差，立方和公式的几何背景，用分割求解和整体计算可解得．20．回答下列问题（1）填空：x2+=（x+）2﹣2=（x﹣）2+ 2（2）若a+=5，则a2+=23；（3）若a2﹣3a+1=0，求a2+的值．【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据完全平方公式进行解答；（3）先根据a2﹣3a+1=0求出a+=3，然后根据完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）2、2．（2）23．（3）∵a2﹣3a+1=0两边同除a得：a﹣3+=0，移向得：a+=3，∴a2+=（a+）2﹣2=7．【点评】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式．。