2.1 单色平面光照射到一个圆孔上，将其波面分成半波带，求第k 各带的半径。

若极点到观察点的距离r 0为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。

解：由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)11(02R r R k hk +=λ，当∞→R 时，0r k R hk λ=。

第一半波带半径067.011045001100=⨯⨯⨯==-r k R hk λcm 。

2.2平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像摄像机光圈那样改变大小．问：(1)小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心4 m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；(2)P 点最亮时，小孔直径应为多大?设此光的波长为500nm 。

解：(1)由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)11(02R r R k hk +=λ，当∞→R 时，k k r k R hk 414.14105000100=⨯⨯⨯==-λmm 。

K 为奇数时，P 点光强为极大值； K 为偶数时，P 点光强为极小值。

(2)P 点最亮时，由p 点的振幅)(211k k a a a +=，所以当k=1时，k a 为最大所以2828.021==h R d cm 。

2.3 波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为0.5 mm 和1 mm 的透光圆环，接收点P 离光阑1 m ，求P 点的光强I 与没有光阑时的光强度I 0之比。

解：由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)11(02Rr R k hk +=λ，圆环内径对应的半波带数1)1111(105000)105.0()11(10230211=+⨯⨯=+=--R r R k h λ圆环外径对应的半波带数4)1111(105000)101()11(10230212=+⨯⨯=+=--R r R k h λ 由题意可知，实际仅露出3各半波带，即142)(21a a a a k ≈+=，而1121)(21a a a a ≈+=∞∞所以光强之比4220==∞a a I I k。

2.4波长为632.8 nm 的平行光射向直径为2.76 mm 的圆孔，与孔相距l m 处放一屏，试问：(1)屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点?(2)要使P 点变成与(1)相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少?解：(1)由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)11(02Rr R k hk +=λ，当∞→R 时，31106328)21076.2(102302≈⨯⨯⨯==--r R k hk λ。

由于k=3，为奇数，所以屏上正对圆孔中心的P 点时亮点。

(2)预使P 点变为暗点，即要使k 为偶数，即k=2or4 当k=2时5.12106328)21076.2('102320≈⨯⨯⨯==--k R r hk λm 5.0'00-=-=∆r r r m 即将屏向后移动0.5m 当k=2时75.04106328)21076.2('102320≈⨯⨯⨯==--k R r hk λm 25.0'00=-=∆r r r m即将屏向前移动0.25m2.5 一波带片由五个半波带组成，第一半波带为半径r 1的不透明圆盘，第二半波带是半径r 1至r 2的透明圆环，第三半波带是r 2至r 3的不透明圆环，第四半波带是r 3至r 4的透明圆环，第五半波带是r 4至无穷大的不透明区域．已知r 1：r 2：r 3：r 4=l ：2：3：4，用波长500nm 的平行单色光照明，最亮的像点在距波带片1 m 的轴上．试求：(1)r1；(2)像点的光强；(3)光强极大值出现在轴上哪些位置上。

解：(1)由菲涅耳衍射，第k 个半波带满足关系式)11(02R r R k hk +=λ，当∞→R 时，λk r R hk 0=，由于500=λnm ，0r =1m ， 所以k R hk 101050001-⨯⨯=由题意可知43214321:4:3:2:1:::k k k k R R R R h h h h ：：== 所以1k =1，2k =2，3k =3，4k =4。

707.011050001101=⨯⨯⨯=-h R mm 。

由题意可知，屏对于波带片只让偶数的半波带透光，所以‘ 2422a a a a k ≈+=而221a a ≈∞所以0222216164I a a a I k ===≈∞(3)因为1'20===λk Rr f h m ——主焦点它还有次焦点：'31f 、'51f 、'71f ……故光强极大点出现在轴上31、51、71……2.6波长为λ的点光源经波带片成一个像点，该波带片有100个透明奇数半波带(1，3，5，…，199)．另外100个不透明偶数半波带．比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该像点的强度比0:I I 。

解：由题意可知，将所有偶数半波带挡住了，二只有奇数的半波带透过 所以在考察点的振幅为119919731100a a a a a a k ≈++++= ，即21210000a a I k =≈ 当换上同样焦距的口径的透镜时，透镜对所有光波的相位延迟一样，所以1a 、2a 、3a …199a 、200a 的方向时一致的，即12001994321200a a a a a a a a k ≈+++++=强度212040000a a I k =≈所以40=I I2.7 平面光的波长为480 nm ，垂直照射到宽度为0.4 mm 的狭缝上，会聚透镜的焦距为60 cm ，分别计算当缝的两边到P 点的相位差为2π和6π时，P 点离焦点的距离。

解：如图所示'2tan 2sin 2f y bb b λπθλπθλπϕ=≈=∆， 所以ϕπλ∆=bf y 2'18.02104.021*********'32911=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=---ππϕπλb f y mm 06.06104.021*********'32911=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=---ππϕπλb f y mm2.8 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm 的光波的第二各次最大值重合，求该光波的波长。

解：由单缝衍射出现次最大值的条件为λθ43.1sin 10≈b λθ46.2sin 20≈b λθ47.3sin 30≈b由题意可知046.247.3λλ=，即91060046.247.3-⨯⨯=λ，9104.425-⨯=λm2.9 波长为546.1nm 的平行光垂直地射在l mm 宽的缝上，若将焦距为100 cm 的透镜紧贴于缝的后面，并使光聚焦到屏上，试问衍射图样的中央到(1)第一最小值；(2)第一最大值；(3)第三最小值的距离分别为多少?解：(1)由单缝衍射出现最小值的条件为λθk b k =sin而θθsin 'tan 'f f y ≈=所以bk f y λ'=，所以63921101.546101101.54610100'----⨯=⨯⨯⨯⨯==b f y λm (2) 由单缝衍射出现第一级最大值的条件为λθ43.1sin =k b而θθsin 'tan 'f f y ≈=所以b f y λ43.1'•=，所以63921109.780101101.5461010043.1'43.1'----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=b f y λ (3) 由单缝衍射出现最小值的条件为λθk b k =sin而θθsin 'tan 'f f y ≈= 所以b kf y λ'=， 所以63921103.1638101101.546101003'3----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==b f y λm2.10钠光通过宽0.2 mm 的狭缝后，投射到与缝相距300cm 的照相底片上．所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885 cm ，试问钠光的波长为多少?若改用X 射线(λ=0.1 nm)做此实验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少? 解：由单缝衍射出现最小值的条件为λθk b k =sin 而θθsin 'tan 'f f y ≈=所以bkf y λ'=，由题意可得bf y y y λ)12('12-=-=∆322102.0)12(1030010885.0---⨯-⨯⨯=⨯λ10105900-⨯=λm若改用X 射线作此实验，底片上这两个最小值之间的距离639212105.1102.0101.0)12(10300)12('----⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=-=∆b f y y y λm2.11 以纵坐标表示强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射(包括缝与缝之间的干涉)图样，设缝宽为b ，相邻缝间的距离为d ，d=3b ，注意缺级问题。

解：2.12 一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的全息光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少?(设可见光中最短的紫光波长为400 nm ，最长的红光波长为760nm)解：由光栅方程λθj d k =sin (j=0，±1 、±2、±3… )由题意可知光栅常数53102501011--⨯=⨯==N d m 对于白光，第一级的末端为红光，对应波长为760nm2591108.3102107601sin ---⨯=⨯⨯⨯==d j λθrad 第二级的始端为紫光，对应波长为400nm2592100.4102104002sin ---⨯=⨯⨯⨯==d j λθrad 所以衍射角之差为rad 100.2)10arcsin(3.8)10arcsin(4.0Δθ222---⨯≈⨯-⨯='7180102.02=︒⨯⨯=-π2.13 用可见光(760-400nm)照射全息光栅，一级光谱和二级光谱是否重叠?二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？解：由光栅方程λθj d k =sin (j=0，±1 、±2、±3… )对于白光，第一级的末端为红光，对应波长为760nmdd d j 99110760107601sin --⨯=⨯⨯==λθrad第二级的始端为紫光，对应波长为400nmdd d j 99210800104002sin --⨯=⨯⨯==λθrad所以12θθ>，所以第一级与第二级之间是不会重叠的 第二级末端的红光，对应的衍射角由dd d j 992101520107602sin --⨯=⨯⨯==λθrad第三级始端的紫光，对应的衍射角dd d j 993101200104003sin --⨯=⨯⨯==λθrad23θθ<，所以第二级与第三级之间是会重叠的对于重叠范围如下计算32sin sin θθ=时，即为重叠部分故有dd 9910)760~400(310)760~400(2--⨯⨯=⨯⨯，即)760~400(3)760~400(2⨯=⨯ )2280~1200()1520~800(=可见重叠部分为1520~12001520~1200= 对于第二级对应波长为600~760nm 对于第三级对应的波长为400~506.7nm即第二级光谱的600~760nm 与第三级的400~506.7nm 重合。