v
P 表示几个车轮的合力，作用在横桥方向的偏心距为 e
h
b
局部分析

P v 2
P 0 v b Pv Pv b Pv Pv b Pv b [ b h] [ b h] 2 2h 2 2h 畸变荷载是由水平分力和垂直分力组成，是一组自相平衡的力系， 由于各力作用在不同的部件上而导致畸变变形，因而由畸变变形产 生的内力也是自相平衡的。
ˆ (kN m2 ) BD EI
根据相似关系对比
Vd b ˆ y EI EI 4 (4 44) k EI R ˆ EI q Vd b BD M s q ( 4) 4 y 4s y (4 45) EI 则无限长梁（L 4）时，当跨中截面作用单位畸变荷载（P 1 ）， 4 EI k 利用上式（ R s 4 EI ）得： Vd b x [ e (cos x sin x)]
m AD (或mBC） 则： （W为箱壁板的截面模 dt W 量）
m : 框架参数，见表4-2
现在关键是未知参数畸变角的求解，有了畸变角 双力矩 BD ，进而求出畸变应力。
即可求出畸变
二、用弹性地基梁比拟法求畸变微分方程
箱梁在畸变荷载 Vd 的作用下， 由式（4-40）可得畸变微分方程： V b Pv ( 4 ) 44 d ( 4 44) Vd ˆ EI 2 Hd EI R 4 ˆ 4 EI Pv b H d 这与受竖向荷载的弹性地基梁的微分 2h 方程有相似形式，弹性地基梁的弹性 Vd 微分方程为： 其中： q y ( 4 ) 44 ( 4 45) k : 地基系数 sy EI EI : 梁的竖向抗弯刚度 k 4 q : 竖向荷载 s 4 EI q ( x) q ( x)
箱形梁的畸变
前面假定箱梁在扭转时截面周边保持不变形，扭转就如刚体转 动，根据截面几何性质和边界条件又可分为自由扭转和约束扭转。 这在箱壁较厚或横隔板较密时，这个假设是接近实际情况，在设计 中就不必考虑扭转变形（既畸变）所引起的应力状态。但高强度混 凝土在桥跨结构中的应用以及预应力技术的普及与发展，使得薄壁 箱梁结构得到推广。由于设计和施工技术上的要求，希望在桥跨上 部箱梁间少设或不设横隔梁，因此，截面就不满足周边不变形的假 设，则在反对称荷载作用下，截面不但扭转而且要发生畸变，从而 产生畸变翘曲正应力 d 和剪应力 d ，箱壁上也将引起横向弯曲 正应力 dt 。
( 4) 4
1 x [e (cos x sin x)] BD 4 BD 1 x QD 2 e cos x 根据内力与变形的互等定理知，该曲线就是荷载作用点截面（如跨 中截面）的畸变角和畸变双力矩影响线（力作用跨中在整个梁引起 的 、BD 等于力作用其他作用点时引起跨中 、BD ）
本章参考文献 • [1]郭金琼.箱形梁设计理论.北京：人民交通 出版社.1991. • [2]杜国华等.桥梁结构分析.上海：同济大学 出版社，1997. • [3]C．P．汉斯.薄壁杆中的弯曲与扭转.北京 ：人民交通出版社，1980. • [4]张士铎.变高度梯形单室箱梁畸变计算 .土 木工程学报，Vol.20,No.4,1987.
1. 计算截面各项几何特征和参数 2. 根据常见支座的边界条件，确定畸变微分方程的通解中的系数， 为了工程方便书中给出了常见几种梁畸变角和畸变双力矩影响线 计算公式和图表；对无限长梁（ L 4）直接利用公式绘出畸变 角和畸变双力矩影响线。 3. 在影响线上布置畸变荷载； 。 4. 求相应截面的畸变角和畸变双力矩 5. 计算A点、B点畸变翘曲应力
P v b 刚性扭转 2h
P v ＋ 2
Pv 2
P v 2
Pv b 畸变 2h
图所示的水平向偏心荷载 P ，设其与截面扭转中心的距 离为 d ，则按力学原理。扭矩 Pd 可用角点反对称荷载 d PH P h 来代替。经分解后得到刚性扭转荷载和畸变荷载为
水 平 荷 载 的 分 解
PH h Vd 2 2b PH Hd2 Vd 2 2
W
QD
I t dBD ˆ 畸变力（剪力） EI dz
(单宽t 1)
d
Iˆ
S D
QD S D d ˆ I ˆ S ˆ d S ˆ
A
D
S ˆ
ˆ dF
B
C
横向弯曲力矩为：
EI R m AD 2(1 ) m m EI R m BC 2(1 m )
x

x
存在所列相似关系，求箱梁畸变问题转化为求弹性地基梁问题
弹性地基梁 箱形梁
微分方程
EIy ( 4) ky q
相似的物理量
ˆ ( 4) EI V b EI R d
6 箱形梁抗畸变翘曲惯矩（ ） m ˆ I 4 ˆ kN m 箱形梁抗畸变翘曲刚度（ ） EI 2 I R 箱形梁抗畸变框架惯矩（ m ） EI R 箱形梁抗畸变框架刚度（ kN ） Vd b 箱形梁上分布的畸变垂直分力的力 偶（ kN m m ）
ˆ : 箱梁畸变翘曲刚度 b : 箱梁底板宽 EI 计算公式见 P92表4-2 EI R : 箱梁框架刚度 Vd : 畸变荷载
ˆ ( 4) EI V b EI R d
(4 40)
将上式写成：
A
D
d2 ˆ ) EI V b ( E I R d dz 2 ˆ 畸变双力矩 引进： BD EI
I EI
k q
弹性地基梁抗弯惯矩（ m 4 ） 2 弹性地基梁抗弯刚度（ kN m ）
弹性地基梁地基弹性系数（ kN m ） 弹性地基梁的分布荷载（ kN m ） 弹性地基梁的挠度（ 弹性地基梁的弯矩
2
y M
m）

M EIy(kN m)
BD
箱形梁的畸变角（弧度） 箱形梁的畸变双力矩
b h
（2） 斜腹板箱梁
如图所示的斜腹板箱梁上承受反对称角点荷载，经分解后也可得 到刚性扭转荷载和畸变荷载。 在假定剪应力沿板厚均匀分布下，箱梁中剪力流为
斜腹板箱梁竖向反对称载的分解
刚性扭转荷载：
畸变荷载：
h0 2. 畸变变形 横向：组成箱梁各板元产生了箱梁 v 截面内的位移 v、h 畸变横向挠曲 箱梁横向框架刚度 纵向：由于横向挠曲而产生了相应的 v h 与梁轴线平行(垂直截面)的翘曲位移 u 畸变翘曲 箱梁翘曲刚度 假定： 1. 组成箱梁的各板沿自身平面挠曲满足平截面假设，可用初等梁理 论计算； 2. 箱壁很薄可不考虑应力沿壁厚方向的变化，既认为翘曲正应力和 剪应力沿壁厚均匀分布。 如选择箱梁截面畸变角 做为变形参数，由力学中三大关系（物 理关系、几何关系、平衡关系），得到畸变微分方程（推导略） ：
B
C
畸变产生的翘曲变形和约束扭转产生的翘曲变形是一样的，由此： 畸变产生的翘曲正应力，由约束扭转翘曲率求正应力公式（3-30） 类比得： ˆ B BD w d 、 ˆ I I
ˆ 畸变翘曲率，表示畸变翘曲时，截面纵向位移参数，A、B两 为 ˆ A、 ˆ B 表示, 计算公式见P92表4-2，代入得式（4-42）和 点最大用 式（4-43）。 畸变产生的翘曲剪应力，由约束扭转翘曲率求剪应力公式（3-37） 类比得： M S QD S D
计算横向弯矩 m AD , mBC ，继而计算顶 板、底板和腹板的横向弯曲应力。 畸变翘曲剪应力 d 一般很小，可以 不计。
A
D
B
C
D
Dt
D
小结
本章介绍了 （1）偏心荷载作用下薄壁箱形梁的畸变计算理论， 分别用 （2）静力平衡法推导了单箱单室直腹板等截面箱形梁的 畸变微分方程，用 （3）能量变分原理推导了斜腹板箱形梁的畸变微分方程， 为求符号统一起见。所定义的畸变角 D虽不在同一角 上。但采用了同一符号。 由结果可见，无论直、斜腹板箱形梁，其畸变微分方 程具有相似的表达形式。对微分方程的求解，虽然都可采 用弹性地基梁比拟法，但此法求解变截面梁时全遇到计算 上的困难，建议采用加权残值法求解。 另外，分析变截面梁的畸变效应还可以采用等代梁法， 这方面内容可参考有关文献
一、畸变微分方程的建立
1. 畸变荷载的分解 垂直偏载 水平偏载 任何偏心荷载可分解为对称和反对称荷载 支点侧倾（三条腿）
P e
h
b (a)
＝
P
ห้องสมุดไป่ตู้
2 Pe Pv b
＋
P v
(b)
纵向弯曲
(c )
一般扭转
，则可 分解为（b）、（c），为作用在肋上的集中荷载，（c）式又通过 Pv b P b 局部分析分解为下图： 2h 2h Pv Pv
2 EI R
x
对有限长梁（L 4 ）时，利用边界条件，重新确定畸变微分方程 通解的四个积分常数，其结果书中以表的形式给出，根据所求截面 位置坐标参数 u l 2 和荷载作用位置坐标参数 c l，查表418~表4-22得到不同约束情况下 、 值，再根据图4-16所列公式 计算出 、BD 。 计算步骤：