第 26 章 离散量的最大值和最小值问题
26.1.1** 某个篮球运动员共参加了 10 场比赛， 他在第 6、第 7、第 8、第 9 场比赛中分别得了 23、14、
11 和 20 分，他的前 9 场比赛的平均分比前 5 场比赛的平均分要高，如果他的 10 场比赛的平均分超过
18 分，问：他在第 10 场比赛中至少得了多少分？ 解析 设前 5 场比赛的平均得分为 x ，则前 9 场比赛的平均得分为
26.1.4** 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在
100 个小伙子中，如果某人不
亚于其他 99 人，就称他为棒小伙子．问 100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？
解析 取 100 个小伙子是这样的一种特殊情况．他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体
重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的
故当 a 22 ， b 42 时， a b 值最大，最大值 22+42 ＝ 64．
从 1，2，, ， 1001 这 1001 个正整数中取出 n 个数，使得这 n 个数中任意两个数的差都不是素数，求 n
的最大值．
解析 设正整数 a 被取出，则 a 2 ， a 3 ， a 5 ， a 7 都不能被取出．而 a 1 ， a 4 ， a 6 三者
5x 23 14 11 20 5x 68
．
9
9
由题设知 5x 68 x ， 9
解得 x 17 ．所以前 5 场最多得分是
5 17 1 84 （分）． 再设他第 10 场比赛得了 y 分，那么有
y 84 68 18 10 180 ， 解得 y 28 y>28 ．
故他第 10 场比赛得分≥ 29 分．
另一方面，当他在第 6、第 7、第 8、第 9、第 10 场比赛中分别得了 23、 14、 11、20 和 29 分，前 5 场
26.1.8*** 从 1， 2， , ， 205 共 205 个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任 意三个数 a 、 b 、 c （ a b c ），都有 ab c ．
解析 首先， 1， 14， 15，, ， 205 这 193 个数，满足题设条件．
事实上， 设 a 、 b 、 c （ a b c ）这三个数取自 1，14，15，, ， 205，若 a 1 ，则 ab b c ；若 a 1 ，
中至多只能有一个被取出．
所以连续 8 个整数 a ， a 1 ， a 2 ， a 3， a 4， a 5 ， a 6 ， a 7 中至多有两个数被取出，而
1001＝ 8×125+1 ，所以 n ≤ 2× 125+1＝ 251．
ห้องสมุดไป่ตู้
又 1， 5，9，, ， 1001 这 251 个数满足题设条件．所以 n 的最大值为 251．
解析 （1）因为
rvz rwy suz swy tux tvx 1 1 1 1 1 1 1 0 mod2 ，
所以，此代数式的值为偶数． （ 2）原式 uy s r tx u v
z rv su ，要使原式取得最大值，则
s与 r 取 1 与 1， u与 v 取 l 与
1 ．但是，若 r 与 v 的取值相同（ 1 或 1），则 s 与 u 的取值也相同，有 rv su 0 ．若 r 与 v 的取值不 同．则 s 与 u 的取值也不同，也有 rv su 0 ． 所以，原式的最大值为 4．这时取 s 1 ， r 1， u 1 ， v 1， w y t x 1 ．
26.1.6** 一个三位数除以 43，商是 a ．余数是 b （ a 、 b 都是整数） ，求 a b 的最大值． 解析 由带余除法可知：
43 a b 一个三位数．
①
因为 b 是余数，它必须比除数小，即 b ≤ 42．根据①式．考虑到等式右边是一个三位数，为此
a 不超过
23（ 因为 24× 43>1000）．当 a 23 时，因为 43× 23+10＝ 999，此时 b 为 10．当 a 2 时，可取余数 b 42 ， 此时 43×22+42 ＝ 998．
12 的倍数，求 n 的最小
解析 任取 13 个不同的整数，它们除以 12 所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是
12 的
倍数．
又 l， 2，, ， 12 这 12 个数，其中没有两个数的差为 12 的倍数．
综上所述，至少需任取 13 个数才能满足题意．
26.1.3** 从 1，2， 3， , ， 20 中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的 奇数倍． 解析 从 1， 2，, ， 20 中取 7， 8，, ， 20 这 14 个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍．
总得分为 84 分时，满足题意．
所以，他在第 10 场比赛中至少得了 29 分． 评注 在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界）
，然后再构
造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题．
26.1.2* 从任意 n 个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是 值．
把 1，2，, ， 20 分成如下 14 组： {1 ，3，9} ，{2 ，6，18} ，{4 ，12} ，{5 ，15} ，{7} ，f8} ，{10} ，{11} ，
{13} ， {14} ， {16} ， {17} ， {19} ， {20} ，从中任取 15 个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小 数的奇数倍．
100 个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有
100
个．
26.1.5** 代数式 rvz rwy suz swy tux tvx 中， r 、 s 、 t 、 u 、 v 、 w 、 x 、 y 、 z 可以分别取 1 或者 1． （ 1）求证：代数式的值都是偶数；
（ 2）求该代数式所能取到的最大值．
则 ab ≥ 14 15 210 0 ．
另一方面，考虑如下 12 个数组：
（ 2， 25，2× 25），（ 3， 24， 3× 24），, ， （ 13， 14，13× 14），
上述这 36 个数互不相等，且其中最小的数为 2，最大的数为 13× 14＝182<205，所以，每一个数组中