专题训练试题1 巧解选择、填空题一、选择题1．下列运算结果正确的是( D )A ．m 2＋m 2＝m 4B ．(m ＋1m )2＝m 2＋1m 2C ．(3mn 2)2＝6m 2n 4D ．2m 2n ÷m n＝2mn 2 2．(·齐齐哈尔)下列算式： ①9＝±3；②(－13)－2＝9；③26÷23＝4；④(－2016)2＝；⑤a ＋a ＝a 2. 运算结果正确的概率是( A )A .15B .25C .35D .453．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S 1，S 2，则S 1∶S 2等于( D )A ．1∶ 2B ．1∶2C ．2∶3D ．4∶94．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x ”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x 的取值范围是( C )A ．x ≥11B ．11≤x ＜23C ．11＜x ≤23D ．x ≤235．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点P 是BC 边上的一个动点(点P 与点B ，C 都不重合)，现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E.设BP ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( C ),A ) ,B ),C ) ,D )6．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s(米)与各自所用时间t(秒)之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法正确的是( D )A ．甲的速度随时间的增加而增大B ．乙的平均速度比甲的平均速度大C ．在起跑后第180秒时，两人相遇D ．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面,第6题图) ,第7题图)7．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶ 3 ，则大楼AB 的高度约为( D )(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)A ．30.6B ．32.1C ．37.9D ．39.48．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10 cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14 cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ，下列说法错误的是( C )A ．圆形铁片的半径是4 cmB ．四边形AOBC 为正方形C ．弧AB 的长度为4π cmD ．扇形OAB 的面积是4π cm 2,第8题图) ,第10题图)9．已知两点A(5，6)，B(7，2)，先将线段AB 向左平移一个单位，再以原点O 为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的12得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为( A ) A ．(2，3) B ．(3，1) C ．(2，1) D ．(3，3)10． 如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF ∥AD ，与AC ，DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连接DE ，EH ，DH ，FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH ＋∠ADH ＝180°；③△EHF ≌△DHC ；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个点拨：①∵四边形ABCD 为正方形，EF ∥AD ，∴EF ＝AD ＝CD ，∠ACD ＝45°，∠GFC ＝90°，∴△CFG 为等腰直角三角形，∴GF ＝FC ，∵EG ＝EF －GF ，DF ＝CD －FC ，∴EG ＝DF ，故①正确②∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝CH ，∠GFH ＝12∠GFC ＝45°＝∠HCD ，在△EHF 和△DHC 中，⎩⎨⎧EF ＝CD ，∠EFH ＝∠DCH ，FH ＝CH ，∴△EHF ≌△DHC(SAS )，∴∠HEF ＝∠HDC ，∴∠AEH ＋∠ADH ＝∠AEF ＋∠HEF ＋∠ADF －∠HDC ＝∠AEF ＋∠ADF ＝180°，故②正确③∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝CH ，∠GFH ＝12∠GFC ＝45°＝∠HCD ，在△EHF 和△DHC 中，⎩⎨⎧EF ＝CD ，∠EFH ＝∠DCH ，FH ＝CH ，∴△EHF ≌△DHC(SAS )，故③正确 ④∵AE AB ＝23，∴AE ＝2BE ，∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝GH ，∠FHG ＝90°，∵∠EGH ＝∠FHG ＋∠HFG ＝90°＋∠HFG ＝∠HFD ，在△EGH 和△DFH 中，⎩⎨⎧EG ＝DF ，∠EGH ＝∠DFH ，GH ＝FH ，∴△EGH ≌△DFH(SAS )，∴∠EHG ＝∠DHF ，EH ＝DH ，∠DHE ＝∠EHG ＋∠DHG ＝∠DHF ＋∠DHG ＝∠FHG ＝90°，∴△EHD 为等腰直角三角形，过H 点作HM 垂直CD 于M 点，如图所示，设HM ＝x ，则DM ＝5x ，DH ＝26x ，CD＝6x ，则S △DHC ＝12²HM ²CD ＝3x 2，S △EDH ＝12²DH 2＝13x 2，∴3S △EDH ＝13S △DHC ，故④正确；故选D二、填空题11．化简：(a －2a －1a )÷a 2－1a ＝__a －1a ＋1__． 12．若ab ＝2，a －b ＝－1，则代数式a 2b －ab 2的值等于___－2__．13．美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的2倍多7幅，则展出的油画作品有__69__幅．14．若m ，n 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，则m 2＋2m ＋n 的值为__0__．15．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，4)，△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B ′，点A 的对应点A ′是直线y ＝45x 上一点，则点B 与其对应点B ′间的距离为__5__．16．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD 的面积为__25__．17．)如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝32，CD ＝22，点P 是四边形ABCD 四条边上的一个动点，若P 到BD 的距离为52，则满足条件的点P 有__2__个．,第17题图) ,第18题图)18．如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边△ACD 、等边△ABE ，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ，当AC AB ＝2时，四边形ADFE 是平行四边形． 19．)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是__2π__．(结果保留π),第19题图) ,第20题图)20. 如图，点A ，B 在反比例函数y ＝k x(k ＞0)的图象上，AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足C ，D 分别在x 轴的正、负半轴上，CD ＝k ，已知AB ＝2AC ，E 是AB 的中点，且△BCE的面积是△ADE 的面积的2倍，则k 的值是2． 点拨：∵E 是AB 的中点，∴S △ABD ＝2S △ADE ，S △BAC ＝2S △BCE ，又∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，∴2S △ABD ＝S △BAC .设点A 的坐标为(m ，k m )，点B 的坐标为(n ，k n)，则有⎩⎨⎧m －n ＝k ，k m ＝－2k n ，（m －n ）2＋（k m －k n ）2＝2k m ，解得⎩⎨⎧k ＝372，m ＝72，n ＝－7，或⎩⎨⎧k ＝－372，m ＝－72（舍去），n ＝7.故答案为372专题训练试题2 选择填空压轴题之规律探索问题一、选择题1．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，…解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32 017的末位数字是( C )A ．0B ．1C ．3D ．7点拨：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187…∴末尾数每4个一循环，∵2 017÷4＝504…1，∴3＋32＋33＋34＋…＋32 017的末位数字为32．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中点的个数是( B )A ．31B ．46C ．51D ．66点拨：第1个图中共有1＋1³3＝4个点，第2个图中共有1＋1³3＋2³3＝10个点，第3个图中共有1＋1³3＋2³3＋3³3＝19个点，…第n 个图有1＋1³3＋2³3＋3³3＋…＋3n 个点．所以第5个图中共有点的个数是1＋1³3＋2³3＋3³3＋4³3＋5³3＝46.故选B3．根据如图中箭头的指向规律，从2 013到2 014再到2 015，箭头的方向是以下图示中的( D )A .B .C .D .点拨：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，(2 013＋1)÷4＝503…2，∴2 013是第504个循环组的第2个数，∴从2 013到2 014再到2 015，箭头的方向是.故选D4．(·邵阳)如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是( D )A ．πB ．3019.5πC ．3018πD ．3024π,第4题图),第5题图)5．(·宜宾)如图，以点O 为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1，2，3，4，…，20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为( B )A ．231πB ．210πC ．190πD ．171π6．(·达州)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是( B )A ．25B ．33C ．34D ．50二、填空题7．观察下列一组数：14，39，516，725，936，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__2n －1（n ＋1）2__. 8．(·泉州)找出下列各图形中数的规律，依此，a 的值为__226__．9．(·资阳)设一列数中相邻的三个数依次为m ，n ，p ，且满足p ＝m 2－n ，若这列数为－1，3，－2，a ，－7，b …，则b ＝__128__．10．(·甘孜州)如图，正方形A 1A 2A 3A 4，A 5A 6A 7A 8，A 9A 10A 11A 12，…，(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A 1，A 2，A 3，A 4；A 5，A 6，A 7，A 8；A 9，A 10，A 11，A 12；…)的中心均在坐标原点O ，各边均与x 轴或y 轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A 20的坐标为__(5，－5)__．,第10题图),第12题图)11．下面是一个按照某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n(n 是整数，且n ≥3)行从左到右数第n －2个数是．(用含n 的代数式表示)点拨：前(n －1)行的数据的个数为2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n(n －1)，所以，第n(n 是整数，且n ≥3)行从左到右数第n －2个数的被开方数是n(n －1)＋n －2＝n 2－2，所以，第n(n 是整数，且n ≥3)行从左到右数第n －2个数是n 2－2.故答案为n 2－212．(·德州)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…依次进行下去，则点A 2 017的坐标为__(21_008，21_009)__．13． (·北海)如图，直线y ＝－2x ＋2与两坐标轴分别交于A ，B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P 1，P 2，P 3，…，P n －1，过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T 1，T 2，T 3，…，T n －1，用S 1，S 2，S 3，…，S n －1分别表示Rt △T 1OP 1，Rt △T 2P 1P 2，…，Rt △T n －1P n －2P n －1的面积，则当n ＝2 015时，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝__1 0072 015__.14． (·龙岩)如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，S 10，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝__π__．点拨：(1)图①，过点O 做OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，垂足为E ，F ，则∠OEC ＝∠OFC ＝90°，∵∠C ＝90°，∴四边形OECF 为矩形，∵OE ＝OF ，∴矩形OECF 为正方形，设圆O 的半径为r ，则OE ＝OF ＝r ，AD ＝AE ＝3－r ，BD ＝4－r ，∴3－r ＋4－r ＝5，r ＝3＋4－52＝1，∴S 1＝π³12＝π(2)图②，由S △ABC ＝12³3³4＝12³5³CD ，∴CD ＝125，由勾股定理得：AD ＝32－（125）2＝95，BD ＝5－95＝165，由(1)得：⊙O 的半径＝95＋125－32＝35，⊙E 的半径＝125＋165－42＝45，∴S 1＋S 2＝π³(35)2＋π³(45)2＝π(3)图③，由S △CDB ＝12³125³165＝12³4³MD ，∴MD ＝4825，由勾股定理得：CM ＝（125）2－（4825）2＝3625，MB ＝4－3625＝6425，由(1)得：⊙O 的半径＝35；⊙E 的半径＝4825＋3625－1252＝1225；⊙F 的半径＝4825＋6425－1652＝1625，∴S 1＋S 2＋S 3＝π³(35)2 ＋π³(1225)2＋π³(1625)2＝π，∴图4中的S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝π，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝π.故答案为π专题训练试题3 选择填空压轴题之函数图象问题一、选择题1．(·贵州)为了加强爱国主义教育，每周一学校都要举行庄严的升旗仪式，同学们凝视着冉冉上升的国旗，下列哪个函数图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系( A ),A ) ,B ),C ) ,D )2．(·菏泽)小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s 关于时间t 的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是( D )3．(·衡阳)如图，已知A ，B 是反比例函数y ＝ k x(k ＞0，x ＞0)图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，动点P 从坐标原点O 出发，沿O →A →B →C(图中“→”所示路线)匀速运动，终点为C ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M.设三角形OMP 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于x 的函数图象大致为( A )点拨：设∠AOM ＝α，点P 运动的速度为a ，当点P 从点O 运动到点A 的过程中，S ＝（at ²cos α）²（at ²sin α）2＝12a 2²cos α²sin α²t 2，由于α及a 均为常量，从而可知本段图象应为抛物线，且S 随着t 的增大而增大；当点P 从A 运动到B 时，由反比例函数性质可知△OPM 的面积为12k ，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P 从B 运动到C 过程中，OM 的长在减少，△OPM 的高与在B 点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选A,第3题图) ,第4题图)4．(·鄂州)如图，O 是边长为4 cm 的正方形ABCD 的中心，M 是BC 的中点，动点P 由A 开始沿折线A －B －M 方向匀速运动，到M 时停止运动，速度为1 cm /s .设P 点的运动时间为t(s )，点P 的运动路径与OA ，OP 所围成的图形面积为S(cm 2)，则描述面积S(cm 2)与时间t(s )的关系的图象可以是( A )点拨：分两种情况：,图1) ,图2)①当0≤t ＜4时，作OM ⊥AB 于M ，如图1所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B＝90°，AD ＝AB ＝BC ＝4 cm ，∵O 是正方形ABCD 的中心，∴AM ＝BM ＝OM ＝12AB ＝2 cm ，∴S ＝12AP ²OM ＝12³t ³2＝t(cm 2) ②当4≤t ≤6时，作OM ⊥AB 于M ，如图2所示：S ＝△OAM 的面积＋梯形OMBP 的面积＝12³2³2＋12(2＋t －4)³2＝t(cm 2)；综上所述，面积S(cm 2)与时间t(s )的关系的图象是过原点的线段，故选A5． (·黑龙江)如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t ，正方形与三角形不重合部分的面积为S(阴影部分)，则S 与t 的大致图象为( A )6． (·随州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a ＋b ＝0；②9a ＋c ＞3b ；③8a ＋7b ＋2c ＞0；④若点A(－3，y 1)，点B(－12，y 2)，点C(72，y 3)在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；⑤若方程a(x ＋1)(x －5)＝－3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜－1＜5＜x 2.其中正确的结论有( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个点拨：①正确．∵－b2a＝2，∴4a ＋b ＝0.故①正确②错误．∵x ＝－3时，y ＜0，∴9a －3b ＋c ＜0，∴9a ＋c ＜3b ，故②错误③正确．由图象可知抛物线经过(－1，0)和(5，0)，∴ 解得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，25a ＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4a ，c ＝－5a ，∴8a ＋7b ＋2c ＝8a －28a －10a ＝－30a ，∵a ＜0，∴8a ＋7b ＋2c ＞0，故③正确 ④错误，∵点A(－3，y 1)、点B(－12，y 2)，点C(72，y 3)，∵72－2＝32，2－(－12)＝52，∴32＜52，∴点C 离对称轴的距离近，∴y 3＞y 2，∵a ＜0，－3＜－12＜2，∴y 1＜y 2，∴y 1＜y 2＜y 3，故④错误⑤正确．∵a ＜0，∴(x ＋1)(x －5)＝－3a ＞0，即(x ＋1)(x －5)＞0，故x ＜－1或x ＞5，故⑤正确．∴正确的有三个，故选B二、填空题7． (·黄冈)如图，是小明从学校到家里行进的路程s(米)与时间t(分)的函数图象．观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1 000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走得快，其中正确的有___①②④__．(填序号)8． (·南充)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上且经过点(1，1)，双曲线y ＝12x 经过点(a ，bc)，给出下列结论：①bc ＞0；②b ＋c ＞0；③b ，c 是关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋12a＝0的两个实数根；④a －b －c ≥3.其中正确的结论是__①③④__．(填写序号) 点拨：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上且经过点(1，1)，双曲线y ＝12x经过点(a ，bc)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a ＋b ＋c ＝1，bc ＝12a ，∴bc ＞0，故①正确；∴a ＞1时，则b ，c 均小于0，此时b ＋c ＜0，当a＝1时，b ＋c ＝0，则与题意矛盾，当0＜a ＜1时，则b ，c 均大于0，此时b ＋c ＞0，故②错误；∴x 2＋(a －1)x ＋12a ＝0可以转化为x 2＋(b ＋c)x ＋bc ＝0，得x ＝b 或x ＝c ，故③正确；∵b ，c 是关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋12a ＝0的两个实数根，∴a －b －c ＝a －(b ＋c)＝a＋(a －1)＝2a －1，a ＋b ＋c ＝1故b ＋c ＝1－a ＜1，当1＞1－a ＞－1，即2＞a ＞0时，有(b ＋c)2＜1，即4bc ＜1，bc ＜14，从而得出a ＞2，与题设矛盾，故a ≥2，即2a －1≥3，故④正确；故答案为①③④专题训练试题4 选择填空压轴题之图形变化问题一、选择题1．(·海南)如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿着直线AD 对折，点C 落在点E 的位置．如果BC ＝6，那么线段BE 的长度为( D )A ．6B ．6 2C ．2 3D ．3 2,第1题图) ,第2题图)2． (·莆田)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕，若AE ＝3，则sin ∠BFD 的值为( A )A .13B .223C .24D .35点拨：易得∠A ＝∠B ＝45°，通过折叠易得∠A ＝∠EDF ＝45°，过点D 作DG ⊥AB 交AB 于点G ，则∠B ＝∠BDG ＝45°，∴∠BDG ＝∠EDF ＝45°，∴∠FDG ＋∠EDC ＝90°，∴∠FDG 与∠EDC 互为余角，∴易得∠BFD ＝∠EDC ，ED ＝3，CE ＝AC －AE ＝1，sin ∠BFD ＝133．如图，矩形ABCD 的外接圆O 与水平地面相切于A 点，圆O 半径为2，且BC ︵＝2AB ︵，若在没有滑动的情况下，将圆O 向右滚动，使得O 点向右移动了75π，则此时哪一弧与地面相切？( C )A .BC ︵B .CD ︵C .DA ︵D .AB ︵,第3题图) ,第4题图)4．如图，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点A ′的对应点A 的纵坐标是1.5，则点A ′的纵坐标是( B )A ．3B ．－3C ．－4D ．45．(·滨州)在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y ＝x 2＋5x ＋6，则原抛物线的解析式是( A )A ．y ＝－(x －52)2－114B ．y ＝－(x ＋52)2－114C ．y ＝－(x －52)2－14D ．y ＝－(x －52)2＋146． (·黑龙江)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 的延长线于点Q ，下列结论正确的个数是( B )①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP ＝45；④S 四边形ECFG ＝2S △BGE .A ．4B ．3C ．2D ．1 点拨：∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CF ＝BE ，在△ABE 和△BCF中，⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，BE ＝CF ，∴Rt △ABE ≌Rt △BCF(SAS )，∴∠BAE ＝∠CBF ，AE ＝BF ，故①正确；又∵∠BAE ＋∠BEA ＝90°，∴∠CBF ＋∠BEA ＝90°，∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF ，故②正确；根据题意得，FP ＝FC ，∠PFB ＝∠BFC ，∠FPB ＝90°，∵CD ∥AB ，∴∠CFB ＝∠ABF ，∴∠ABF ＝∠PFB ，∴QF ＝QB ，令PF ＝k(k ＞0)，则PB ＝2k ，在Rt △BPQ 中，设QB ＝x ，∴x 2＝(x －k)2＋4k 2，∴x ＝5k 2，∴sin ∠BQP ＝BP QB ＝45，故③正确；∵∠BGE＝∠BCF ，∠GBE ＝∠CBF ，∴△BGE ∽△BCF ，∵BE ＝12BC ，BF ＝52BC ，∴BE ∶BF ＝1∶5，∴△BGE 的面积∶△BCF 的面积＝1∶5，∴S 四边形ECFG ＝4S △BGE ，故④错误．故选B7．(·深圳)如图，四边形ABCO 是平行四边形，OA ＝2，AB ＝6，点C 在x 轴的负半轴上，将▱ABCO 绕点A 逆时针旋转得到▱ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上，若点D 在反比例函数y ＝kx(x ＜0)的图象上，则k 的值为．,第7题图) ,第8题图)8．(·菏泽)如图，一段抛物线：y ＝－x(x －2)(0≤x ≤2)记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；…如此进行下去，直至得到C 6，若点P(11，m)在第6段抛物线C 6上，则m ＝__－1__．9．(·乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2 3 ，以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD ︵绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为3,第9题图) ,第10题图)10． (·黄冈)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a.将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝．点拨：作FM ⊥AD 于M ，如图所示，则MF ＝DC ＝3a ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠D ＝90°.∵DC ＝3DE ＝3a ，∴CE ＝2a ，由折叠的性质得：PE ＝CE ＝2a ＝2DE ，∠EPF ＝∠C ＝90°，∴∠DPE ＝30°，∴∠MPF ＝180°－90°－30°＝60°，在Rt △MPF 中，∵sin∠MPF＝MFFP，∴FP＝MFsin60°＝3a32＝23a11．(·绍兴)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为．点拨：如图，当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∵AB＝4，AD＝BC＝2，∴AD＝AE＝EB＝BC＝2，∴△ADE，△ECB是等腰直角三角形，∴∠AED＝∠BEC＝45°，∴∠DEC＝90°，∵l∥EC，∴ED⊥l，∴EM＝2＝AE，∴点A，点M关于直线EF对称，∵∠MDF＝∠MFD＝45°，∴DM＝MF＝DE－EM＝22－2，∴DF＝2DM＝4－2 2.当直线l在直线EC下方时，∵∠DEF1＝∠BEF1＝∠DF1E，∴DF1＝DE＝22，综上所述，DF的长为22或4－2 2.故答案为22或4－2 2专题训练试题5选择填空压轴题之动点或最值问题一、选择题1．(·百色)如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是( C )A．1 B．3 2C．2 3 D．2＋ 32．(·包头)如图，直线y＝23x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( C )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0),第2题图) ,第4题图)3．(·呼和浩特)已知a ≥2，m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，则(m －1)2＋(n －1)2的最小值是( A )A ．6B ．3C ．－3D ．0点拨：∵m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，∴m ，n 是关于x 的方程x 2－2ax ＋2＝0的两个根，∴m ＋n ＝2a ，mn ＝2，∴(m －1)2＋(n －1)2＝m 2－2m ＋1＋n 2－2n ＋1＝(m ＋n)2－2mn －2(m ＋n)＋2＝4a 2－4－4a ＋2＝4(a －12)2－3，∵a ≥2，∴当a ＝2时，(m －1)2＋(n －1)2有最小值，∴(m －1)2＋(n －1)2的最小值＝4(a －12)2－3＝4(2－12)2－3＝6，故选A4．(·苏州)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1)B ．(3，43)C ．(3，53) D ．(3，2)5．(·西宁)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，tan C ＝34，AB ＝6 cm .动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1 cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2 cm /s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是( C )A ．18 cm 2B ．12 cm 2C ．9 cm 2D ．3 cm 2,第5题图) ,第6题图)6． (·温州)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2.P 是AB 边上一动点，PD ⊥AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE ＝1，连接CE.P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1＋S 2的大小变化情况是( C )A ．一直减小B ．一直不变C ．先减小后增大D ．先增大后减小点拨：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝25，设PD ＝x ，AB 边上的高为h ，h ＝AC·BC AB ＝455，∵PD ∥BC ，∴PD BC ＝AD AC ，∴AD＝2x ，AP ＝5x ，∴S 1＋S 2＝12·2x·x ＋12(25－1－5x)·455＝x 2－2x ＋4－255＝(x －1)2＋3－255，∴当0＜x ＜1时，S 1＋S 2的值随x 的增大而减小，当1≤x ≤2时，S 1＋S 2的值随x的增大而增大．故选C二、填空题7．如图，正方形ABCD 的边长是8，P 是CD 上的一点，且PD 的长为2，M 是其对角线AC 上的一个动点，则DM ＋MP 的最小值是___10__．8． (·眉山)如图，已知点A 是双曲线y ＝6x在第三象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝kx 上运动，则k 的值是__－点拨：∵双曲线y ＝6x的图象关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，连接OC ，如图所示，∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°，∴tan ∠OAC ＝OCOA＝3，∴OC ＝3OA ，过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F ，∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ，∴∠AEO ＝∠OFC ，∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ，∴△OFC ∽△AEO ，相似比OCOA ＝3，∴面积比S △OFC S △AEO ＝3，∵点A 在第一象限，设点A 坐标为(a ，b)，∵点A 在双曲线y ＝6x 上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝12FC ²OF ＝362，∴设点C 坐标为(x ，y)，∵点C 在双曲线y ＝kx 上，∴k ＝xy ，∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y.∴FC ²OF ＝x ²(－y)＝－xy ＝－36，故答案为－3 6,第8题图) ,第9题图)9．(·沈阳)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM ＝3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O.若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是__256或5013__．点拨：如图，作EF ⊥BC 于F ，DN ′⊥BC 于N ′交EM 于点O ′，此时∠MN ′O ′＝90°，∵DE 是△ABC 中位线，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ＝10，∵DN ′∥EF ，∴四边形DEFN ′是平行四边形，∵∠EFN ′＝90°，∴四边形DEFN ′是矩形，∴EF ＝DN ′，DE ＝FN ′＝10，∵AB ＝AC ，∠A ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴BN ′＝DN ′＝EF ＝FC ＝5，∴ED MN ′＝DO ′O ′N ′，∴102＝DO ′5－DO ′，∴DO ′＝256.当∠MON ＝90°时，∵△DOE ∽△EFM ，∴DOEF ＝DE EM ，∵EM ＝EF 2＋MF 2＝13，∴DO ＝5013，故答案为256或501310． (·咸宁)如图，边长为4的正方形ABCD 内接于点O ，点E 是AB ︵上的一动点(不与A ，B 重合)，点F 是BC ︵上的一点，连接OE ，OF ，分别与AB ，BC 交于点G ，H ，且∠EOF ＝90°，有以下结论：①AE ︵＝BF ︵；②△OGH 是等腰直角三角形；③四边形OGBH 的面积随着点E 位置的变化而变化； ④△GBH 周长的最小值为4＋ 2.其中正确的是__①②__．(把你认为正确结论的序号都填上),答图1) ,答图2)点拨：①如答图1所示， ∵∠BOE ＋∠BOF ＝90°，∠COF ＋∠BOF ＝90°，∴∠BOE＝∠COF ，在△BOE 与△COF 中，⎩⎨⎧OB ＝OC ，∠BOE ＝∠COF ，OE ＝OF ，∴△BOE ≌△COF(SAS )，∴BE ＝CF ，∴AE ︵＝BF ︵，①正确②∵BE ＝CF ，∴∠BOG ＝∠COH ，∴△BOG ≌△COH(ASA )，∴OG ＝OH ，∠COH ＋∠BOF ＝90°，∴∠GOH ＝90°，OG ＝OH ，∴△OGH 是等腰直角三角形，②正确③如答图2所示， ∵△HOM ≌△GON ，∴四边形OGBH 的面积始终等于正方形ONBM 的面积，③错误；④∵△BOG ≌△COH ，∴BG ＝CH ，∴BG ＋BH ＝BC ＝4，设BG ＝x ，则BH ＝4－x ，则GH ＝BG 2＋BH 2＝x 2＋（4－x ）2，∴其最小值为22，④错误．故答案为①②三、解答题11．如图，抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A(－1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．解：(1)∵点A(－1，0)在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12³(－1)2＋b ³(－1)－2＝0，解得b ＝－32，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2，∵y ＝12x 2－32x －2＝12(x －32)2－258，∴顶点D 的坐标为(32，－258)(2)作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0，2)，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD 一定，当MC ＋MD 的值最小时，△CDM 的周长最小，设直线C ′D 的解析式为y ＝ax ＋b(a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，32a ＋b ＝－258，解得a ＝－4112，b ＝2，∴y C ′D ＝－4112x ＋2，当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，则x ＝2441，∴M(2441，0)专题训练试题6 实数混合运算、分式化简求值1．(·自贡)计算：(12)－1＋(sin 60°－1)0－2cos 30°＋|3－1|.解：原式＝2＋1－3＋3－1＝22．(·菏泽)计算：2－2－2cos 60°＋|－12|＋(13)0.解：原式＝14－2³12＋23＋1＝14＋2 33．(·随州)计算：－|－1|＋12²cos 30°－(－12)－2＋(π－3.14)0.解：原式＝－1＋23³32－4＋1＝－1＋3－4＋1＝－14．(·东营)计算：(12 016)－1＋(π－3)0－2sin 60°－12＋|1－33|.解：原式＝2 016＋1－3－23＋33－1＝2 0165．(·凉山州)计算：|1－3|－3tan 60°＋12＋(π＋1)0＋(－1)2 016. 解： 原式＝3－1－33＋23＋1＋1＝16．(·滨州)先化简，再求值：a －4a ÷(a ＋2a 2－2a －a －1a 2－4a ＋4)，其中a ＝ 2.解：原式＝a －4a ÷[a 2－4a （a －2）2－a 2－a a （a －2）2]＝a －4a ÷a －4a （a －2）2＝a －4a ²a （a －2）2a －4 ＝(a －2)2，∵a ＝2，∴原式＝(2－2)2＝6－4 27．(·广东)先化简，再求值：a ＋3a ²6a 2＋6a ＋9＋2a －6a 2－9，其中a ＝3－1.解：原式＝a ＋3a ²6（a ＋3）2＋2（a －3）（a ＋3）（a －3）＝6a （a ＋3）＋2aa （a ＋3）＝2（a ＋3）a （a ＋3）＝2a ，当a ＝3－1时，原式＝23－1＝2（3＋1）（3－1）（3＋1）＝3＋18．(·东营)先化简，再求值：(a ＋1－4a －5a －1)÷(1a －1a 2－a )，其中a ＝2＋ 3.解： 原式＝a 2－1－4a ＋5a －1÷a －1－1a （a －1）＝a 2－4a ＋4a －1÷a －2a （a －1）＝（a －2）2a －1²a （a －1）a －2＝a(a －2)．当a ＝2＋3时，原式＝(2＋3)(2＋3－2)＝3＋2 39．(·黔东南州)先化简：x 2－1x 2－2x ＋1÷x ＋1x ²(x －1x )，然后x 在－1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．解：原式＝（x ＋1）（x －1）（x －1）2²x x ＋1²x 2－1x ＝xx －1²（x ＋1）（x －1）x ＝x ＋1.∵在－1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2，∴当x ＝2时，原式＝2＋1＝310．(·哈尔滨)先化简，再求代数式(2a ＋1－2a －3a 2－1)÷1a ＋1的值，其中a ＝2sin 60°＋tan 45°.解：原式＝[2a ＋1－2a －3（a ＋1）（a －1）]²(a ＋1)＝2（a －1）－2a ＋3（a ＋1）（a －1）²(a ＋1)＝2a －2－2a ＋3（a ＋1）（a －1）²(a ＋1)＝1（a ＋1）（a －1）²(a ＋1)＝1a －1，当a ＝2sin 60°＋tan 45°＝2³32＋1＝3＋1时，原式＝13＋1－1＝3311．(·枣庄)先化简，再求值：a 2＋a a 2－2a ＋1÷(2a －1－1a)，其中a 是方程2x 2＋x －3＝0的解． 解：原式＝a （a ＋1）（a －1）2÷2a －（a －1）a （a －1）＝a （a ＋1）（a －1）2²a （a －1）a ＋1＝a 2a －1.由2x 2＋x －3＝0得到：x 1＝1，x 2＝－32 ，又a －1≠0即a ≠1，所以a ＝－32，所以原式＝（－32）2－32－1＝－91012．(·凉山州)先化简，再求值：(1x －y ＋2x 2－xy )÷x ＋22x ，其中实数x ，y 满足y ＝x －2－4－2x ＋1.解：原式＝x ＋2x （x －y ）²2x x ＋2＝2x －y，∵y ＝x －2－2（2－x ） ＋1，∴x －2≥0，2－x ≥0，即x －2＝0，解得x ＝2，y ＝1，则原式＝2专题训练试题7 简单的全等、相似及特殊四边形1．(·怀化)如图，已知AD ＝BC ，AC ＝BD. (1)求证：△ADB ≌△BCA ；(2)OA 与OB 相等吗？若相等，请说明理由．(1)证明：∵在△ADB 和△BCA 中， ⎩⎨⎧AD ＝BC ，AB ＝BA ，BD ＝AC ，∴△ADB ≌△BCA(SSS )(2)解：OA ＝OB ，理由是：∵△ADB ≌△BCA ，∴∠ABD ＝∠BAC ，∴OA ＝OB (·黄冈)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，对角线AC 分别交BE ，DF 于点G ，H.求证：AG ＝CH.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CFH ，∠EAG ＝∠FCH ，∵E ，F 分别为AD ，BC 边的中点，∴AE ＝DE ＝12AD ，CF ＝BF ＝12BC ，∴DE ∥BF ，DE ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ∥DF ，∴∠AEG ＝∠ADF ，∴∠AEG ＝∠CFH ，在△AEG 和△CFH 中，⎩⎨⎧∠EAG ＝∠FCH ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH ，∴△AEG ≌△CFH(ASA )，∴AG ＝CH3． (·长春)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，BF 与CD 交于点G . (1)求证：BD ∥EF ；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形，∴BD ∥EF(2)解：∵四边形BEFD 是平行四边形，∴DF ＝BE ＝4.∵DF ∥EC ，∴△DFG ∽△CEG ，∴DG CG ＝DF CE ，∴CE ＝DF ²CG DG ＝4³32＝6 4． (·北京)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN.(1)求证：BM ＝MN ；(2)∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．(1)证明：在△CAD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD ，MN ＝12AD ，在Rt △ABC 中，∵M 是AC 中点，∴BM ＝12AC ，∵AC ＝AD ，∴MN ＝BM(2)解：∵∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ＝30°，由(1)可知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC ，∴∠BMC ＝∠BAM ＋∠ABM ＝2∠BAM ＝60°，∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°，∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°，∴BN 2＝BM 2＋MN 2，由(1)可知MN ＝BM ＝12AC ＝1，∴BN ＝ 25． (·大庆)如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E.(1)求证：AG ＝CG ； (2)求证：AG 2＝GE ²GF.证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴∠F ＝∠FCD ，在△ADG 与△CDG 中，⎩⎨⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG(SAS )，∴∠EAG＝∠DCG ，∴AG ＝CG(2)∵△ADG ≌△CDG ，∴∠EAG ＝∠F ，∵∠AGE ＝∠AGE ，∴△AEG ∽△FGA ，∴AGFG ＝EGAG，∴AG 2＝GE ²GF6． (·内江)如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF.(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．(1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ，在△AEF和△DEC 中，⎩⎨⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC(AAS )，∴AF ＝CD ，∴BD ＝CD ，∴D是BC 中点(2)解：若AB ＝AC ，则四边形AFBD 是矩形．理由如下：∵△AEF ≌△DEC ，∴AF ＝CD ，∵AF ＝BD ，∴CD ＝BD ；∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴∠ADB ＝90°，∴平行四边形AFBD 是矩形7 (·威海)如图，在△ABC 和△BCD 中，∠BAC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝AC ，CB ＝CD.延长CA 至点E ，使AE ＝AC ；延长CB 至点F ，使BF ＝BC.连接AD ，AF ，DF ，EF.延长DB 交EF 于点N.(1)求证：AD ＝AF ； (2)求证：BD ＝EF ；(3)试判断四边形ABNE 的形状，并说明理由．(1)证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ABF ＝∠ACD ，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，在△ABF 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠ABF ＝∠ACD ，BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD(SAS )，∴AD ＝AF(2)证明：由(1)知，AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC ，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD ，在△AEF 和△ABD 中，⎩⎨⎧AE ＝AB ，∠EAF ＝∠BAD ，AF ＝AD ，∴△AEF ≌△ABD(SAS )，∴BD ＝EF(3)解：四边形ABNE 是正方形；理由如下：∵CD ＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，由(2)知，∠EAB ＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD ＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE ＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形8． (·泰安)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BCD ，AC ⊥AB ，E 是BC 的中点，AD ⊥AE.(1)求证：AC 2＝CD ²BC ；(2)过E 作EG ⊥AB ，并延长EG 至点K ，使EK ＝EB.①若点H 是点D 关于AC 的对称点，点F 为AC 的中点，求证：FH ⊥GH ； ②若∠B ＝30°，求证：四边形AKEC 是菱形．证明：(1)∵AC 平分∠BCD ，∴∠DCA ＝∠ACB.又∵AC ⊥AB ，AD ⊥AE ，∴∠DAC ＋∠CAE ＝90°，∠CAE ＋∠EAB ＝90°，∴∠DAC ＝∠EAB.又∵E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ，∴∠EAB ＝∠ABC ，∴∠DAC ＝∠ABC ，∴△ACD ∽△BCA ，∴AC BC ＝CDAC ，∴AC 2＝CD ²BC(2)①连接AH.∵∠ADC ＝∠BAC ＝90°，点H ，D 关于AC 对称，∴AH ⊥BC.∵EG ⊥AB ，AE ＝BE ，∴点G 是AB 的中点，∴HG ＝AG ，∴∠GAH ＝∠GHA.∵点F 为AC 的中点，∴AF ＝FH ，∴∠HAF ＝∠FHA ，∴∠FHG ＝∠AHF ＋∠AHG ＝∠FAH ＋∠HAG ＝∠CAB ＝90°，∴FH ⊥GH②∵EK ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴EK ∥AC ，又∵∠B ＝30°，∴AC ＝12BC ＝EB ＝EC.又EK＝EB ，∴EK ＝AC ，即AK ＝KE ＝EC ＝CA ，∴四边形AKEC 是菱形专题训练试题8 方程(组)、不等式(组)的实际应用1． (·绥化)某商场计划购机A ，B 两种商品，若购进A 种商品20件和B 种商品15件需380元；若购进A 种商品15件和B 种商品10件需280元．(1)求A ，B 两种商品的进价分别是多少元？(2)若购进A ，B 两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A 种商品多少件？解：(1)设A 种商品的进价是a 元，B 种商品的进价是b 元，根据题意得：⎩⎨⎧20a ＋15b ＝380，15a ＋10b ＝280，解得⎩⎨⎧a ＝16，b ＝4，答：A 种商品的进价是16元，B 种商品的进价是4元(2)设购进A 种商品x 件，则购进B 种商品(100－x)件，根据题意得：16x ＋4(100－x)≤900，解得x ≤4123，∵x 为整数，∴x 的最大整数解为41，∴最多能购进A 种商品41件(·哈尔滨)早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．(1)求小明步行速度(单位：米/分)是多少；(2)下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？解：(1)设小明步行的速度是x 米/分，由题意得：900x ＝9003x ＋10，解得x ＝60，经检验x＝60是原分式方程的解，答：小明步行的速度是60米/分。