第四章 一元函数积分学不定积分部分一．原函数的概念例1.下列等式成立色是（ ）()()().;A f x dx f x '=⎰ ()()().;B df x dx f x =⎰()()().;dC f x dx f x dx=⎰ ()()()..D d f x dx f x =⎰ 例2．下列写法是否有误，为什么？()1.ln c dx e e xx +=⎰（c 为任意正常数）()2 ).0(1332≠+=⎰c cdx xx ()3 .arccos arcsin 12c x c x dx dx x+-=+=-⎰例3.下列积分结果正确吗？()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+⎰√ ()212sin .cos cos ;2x xdx x C =-+⎰√()13sin .cos cos 2.2x xdx x C =-+⎰√例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。

二.直接积分法利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 例4．求().arctan 31111113222424c x x dxdx dx dx xxx xx xx ++-=++-=++-=+⎰⎰⎰⎰例5．求.sin 212cos 212cos 12sin2c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=⎰⎰⎰⎰ 例6．求.tan 44422csc sin cos sin 2222c x c xdx x dx xx dx +-===⎰⎰⎰ 例7．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2π=x 时，这函数值为2，求此函数.解：因为().sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+⎰， 所以，可设().sin cos c x x x f ++-=又因为1212=⇒=+=⎪⎭⎫⎝⎛c c f π.所以，().1sin cos ++-=x x x f 例8．设())0.(12/>=x xx f，求()x f .解：()())0(11/22/>=⇒=x xx f xx f ， ()).0(2121>+===⎰⎰-x c x dx dx xx f x 二．不定积分的第一换元法利用直接积分法所能求得的不定积分是非常有限的.为了求出一般函数 的不定积分，还需要使用各种专门的方法和技巧.下面先回顾第一换元积分公 式.这种方法是通过适当的变量替换，把所求的不定积分化为较易积分的形式. 若已知()()C u F du u f +=⎰，()x u ϕ=可微，则有换元公式： ()[]()()[]./C x F dx x x f +=⎰ϕϕϕ例9.求()c x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|23|ln 3123233123. 例10.求()c xd x dx x xe x e e +-=--=---⎰⎰22221212.例11．求()()()()c x d dx x x x x +==⎰⎰ln ln ln 32231ln . 例12．求()()()()()()c x f x f x f d dx x f x f +==⎰⎰||ln /.例13．求()c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰|cos |ln cos cos cos sin tan . 例14．求()c x x x d dx x x xdx c +===⎰⎰⎰|sin |ln sin sin sin cos tan . 例15．c a x a a x ad dx dx a x a a x a a x +=+⎪⎭⎫⎝⎛=+=+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛arctan 1111111222222.例16．求c axa x ad a dx a dxa x a x xa+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-⎰⎪⎭⎫⎝⎛⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛arcsin 11112222.例17.()()2211111ln ||.22dxx adx dx C x a x a a x a x a a x a xa-⎡⎤==-=+⎢⎥-+-++⎣⎦-⎰⎰⎰例18．c ax ax a dx xa +-+=-⎰||ln 21122. 22212sec cos 21222sec cos secxdx dxxdx dx x xx ===--⎰⎰⎰⎰ 22tan tan 122ln ||1tan 122tan x x d c xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+--⎰. 注意：进一步化简可得到c x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec . 例19．⎰+-=c x c x xdx |tan csc |ln csc 。

————（26）例20．c x x dx x xdx ++=+=⎰⎰2sin 41222cos 1cos 2。

例21．c x x dx x x xdx +-=-=⎰⎰3cos 1214sin 343cos cos 3cos 3另解：()()c x x x d x xdx x xdx +-=-==⎰⎰⎰sin sin cos cos 322331sin sin 1cos 。

例22 .[]...22cos 2141cos 22cos 1cos 224=++==⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+⎰dx x x dx xdx x 例23．()c x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰sin 21105sin cos 5cos 212cos 3cos 。

例24.()()()x d x xd xdx x x x sec 2sec 1sec sectan sec tan 22435⎰-⎰⎰===...例25．()()c d xdx x x x x+=+=+⎰⎰2224arctan 2121211例26.()()()()⎰⎰⎰⎰+--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=-xx x x x x x d d dx x xdx2121211221211111212222448=c x x x +-+-222arctan 41|11|ln 21.41例27．()()dx dx dx dx x x x x xx x x ⎰⎰⎰⎰++++-=+++-=+42424224112111********* =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++++---2112121121112222x x x x x x=()()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21212222121121x x x x x x d x x d=.21arctan 2121|2121|ln 221.21c x x xx x x +-+++-+- 例28．().|1|ln 5111511555566c d dx x dx x x x xx x ++-=++-=+=+-----⎰⎰⎰ 例29．().1|ln 11111c d dx dx eee eeexxxxxx+++=++-=+=+-----⎰⎰⎰三不定积分的第二换元法前面我们讲了第一换元法（又称凑微分法），但并非对所有的不定积分都能使用此方法，即凑微分法失效.有时对有些不定积分采用相反的变量替换，将会达到简化计算的目的.这就是第二换元法..设()t x ψ=是单调（保证它有反函数）可导的，并且()0/≠t ψ，又设()[]()()c t dt t t f +=⎰φψψ/，则()().1c x dx x f +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⎰ψφ 例30.求)0(22>-⎰a dx x a解：令⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2(,sin ππt t a x ，则tdt a dx cos =原式=tdt t tdt a t aaacos cos cos sin22222⎰⎰=-=c t t dt ttdt a a a a ++=+=⎰⎰2sin 4222cos 122222cos=c xa x x aa +-+22221arcsin 2.注意：因为t a x sin =为周期函数，故如限制⎪⎭⎫⎝⎛∈23,2ππt 也行.以后作题,我 们不再指明t 的限制范围. 例31.求⎰+ax dx22解：令⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2,tan ππt t a x ，则tdt a dx sec 2=原式=().||ln |tan sec |ln sec 1122222sec tan c x t t dt t tdt a t a xa +++=+==+⎰⎰注意：这里的最后一步在换回用原变量表示时，要借助于直角三角形。

称此法为整体代换法. 例32.求⎰-ax dx22解：令,sec t a x =，则tdt t a dx tan sec = 原式=sec tan sec ln |sec tan |t tdt tdt t t ==+⎰ln |x c =+.例33．求)1(12>-⎰x xdx x解：.1arcsin arcsin 11122c xc t dt tx xdx tx+-=+-=--=-⎰⎰=============四.分部积分法分部积分公式()()()()()()x du x v x v x u x dv x u ⎰⎰-=. 使用此法的关键是正确选择()x u 和().v x例34.求dx x e x⎰解：取x u =，则c dx v dx dv e e e xxx+==⇒=⎰. 所以，c x dx x xd dx x e e e e e e xxxxxx+-=-==⎰⎰⎰。

注意：（1）如果取e xu =，则c dx x v xdx dv x+==⇒=⎰22。

所以， (22)22222222=-=-==⎰⎰⎰⎰dx d ddx x e x e x e x e x xe e xxxxx x显然，会愈加麻烦。

可见，用分部积分法，最关键的是要选择好合适的函数作为()x u .（2）根据我多年做题经验的总结，选u 的优先顺序是：反→对→多→三→指，按此顺序选择u ，一般都可行.例35.求.cos sin .sin sin .sin cos c x x x xdx x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰ 例36.求().1arcsin .1121arcsin .1arcsin .arcsin 2222c x x d x x dx xx x dx x x x x x +-+=--+=--=⎰⎰⎰例37.2xdx x e ⎰解：22222222xxx xx xx xxx e dx d x dx xd x dx x e xee xee xee e ⎡⎤==-=-=--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰=().22c x e e x xx+--例38.求⎰⎰+ex exxdxx dx 2解：⎰⎰⎰⎰--=⎪⎭⎫⎝⎛+-=-=---ex e e e e e x x x x x xdx x x d x d x x dx 21111， 所以，原式=.12c x dxx dx eex exxx+-=+⎰⎰例39.求()dx x e x1tan 22+⎰解：()22tan 1xdx x e+⎰()2222212tan 2tan tan secxxxx x dx xdx xdx eee =++=+⎰⎰⎰其中，xdx x xd x x d xdx e e e e e e xxxxx x tan 2tan .tan tan .tan 2222222sec⎰⎰⎰⎰-=-==所以，()c x dx ex exx+=+⎰tan 2221tan .注意：上述例5、例6的解法称为“相克法”法.例40.设())2,0(22≥>=⎰+n a dxa x I nn ，试给出递推公式。