一元函数积分相关问题前言：考虑到学习的效率问题，我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。

这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点，同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点，不做无用的重复。

一．考查原函数与不定积分的概念和基本性质讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。

问题1：若)(x f 的导函数是x sin ，则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。

二．考查定积分的概念和基本性质讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，掌握定积分的基本性质。

定积分的基本性质有如下七点： 1、线性性质2、对区间的可加性3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值4、比较定理（及其三个推论）5、积分中值定理6、连续非负函数的积分性质7、设)(x f 在],[b a 上连续，若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有⎰=dcdx x f 0)(，则当],[b a x ∈时，0)(≡x f问题2： 设⎰=2)sin(sin πdx x M ，⎰=20)cos(cos πdx x N ，则有（）（A ）N M <<1 （B ）1<<N M （C ）1<<M N （D ）N M <<1三．考查一元函数积分的基本定理讲解：需要掌握变限定积分函数的连续性与可导性、原函数存在定理、不定积分与变限积分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。

其中变限积分的求导方法为：设)(x f 在],[b a 上连续，)(x ϕ和)(x ψ在],[βα上可导，当],[βα∈x 时，b x x a ≤≤)(),(ψϕ，则⎰=)()()(x x dt t f y ϕψ在],[βα上可以对x 求导，且)('))(()('))((x x f x x f dxdyψψϕϕ-= 牛顿—莱布尼兹定理为：设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰问题3： 已知⎰+=)1ln(2)(x xt dt e t x f ，求)('x f )0(≥x四．考查奇偶函数和周期函数的积分性质讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。

问题4：设)(x f 在]1,0[上连续，A dx x f =⎰2)cos (π，则==⎰π20)cos (dx x f I _______。

五．利用定积分的定义求某些数列极限讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。

关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。

常见的情形有：∑⎰=∞→--+=ni n ba nab n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑⎰=∞→---+=ni n banab n a b i a f dx x f 1)))(1((lim )(问题5：求∑=∞→+=ni n in n in w 12tanlim六．考察基本积分表讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。

七．考察分项积分方法讲解：利用不定积分（定积分）线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和，再求积分。

问题6：求下列不定积分：dx x x ⎰++2cos 1cos 12八．考察定积分的分段积分方法讲解：利用定积分的区间可加性把复杂的区间分解成几个简单区间的和，再求积分。

问题7：计算以下定积分：{}⎰-+22cos ,5.0min )1(ππdx x x九．考察不定积分的分段积分方法讲解：有时被积函数是用分段函数的形式表示的，这时应该采用分段积分法。

问题8：设函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ，求dx x f ⎰)()20(≤≤x十．考察不定积分的凑微分方法（第一换元法）讲解：凑微分方法的具体过程为如下： 设C u F du u f +=⎰)()(，且函数)(x ϕ可导，则C x F x d x f dx x x f +==⎰⎰))(())(())(()('))((ϕϕϕϕϕ。

若⎰dx x x f )('))((ϕϕ不好求，而⎰du u f )(好求，则可以采用这种方法。

需要注意的是通常碰到的问题是求⎰dx x )(ψ，其中)(x ψ并未表达为)('))((x x f ϕϕ的形式，这时我们需要根据)(x ψ的特点选择适合的)(x ϕ。

问题9：求下列不定积分：⎰xdx sec十一．考察不定积分与定积分的第二换元法讲解：需要掌握不定积分与定积分第二换元法的定理，掌握常见的变量替代。

和第一换元法相反，若⎰du u f )(不好求，而⎰dx x x f )('))((ϕϕ好求，则可以采用这种方法，关键是如何选择变量替换。

这些我在后面介绍。

十二．常用变量替换一：三角函数替换讲解：三角函数替换法常用于被积函数中含有二次根式，一般的二次根式C Bx Ax ++2可先采用配方法化成标准形式： 1.若0>A则其可化成A B AC A B x A 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，令ABx A u 2+= 当042>-B AC ，令AB AC a 4422-=，则C Bx Ax ++2可化成22a u +，此时令t a u tan =（22ππ<<-t ）当042<-B AC ，令AACB a 4422-=，则C Bx Ax ++2可化成22a u -，此时令t a u sec =（π≤≤t 0且2π≠t ）2.若0<A则其可化成A B AC A B x A 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--，令A B x A u --+-=2 显然此时042<-B AC （否则被积函数无意义），令AB AC a 4422-=，则C Bx Ax ++2可化成22u a -，此时令t a u sin =（22ππ≤≤-t ）问题10：求下列不定积分：dx xx ⎰-421十三．常用变量替换二：幂函数替换（简单无理函数积分）讲解：幂函数替换常用于被积函数中含有n b ax +，ndcx bax ++的根式。

对于第一个可令t b ax n=+，则abt x n -=；对于第二个可令t dcx bax n =++，则a ct dt b x nn--=，再转化为有理函数积分。

如果被积函数中同时含有α)(b ax +，β)(b ax +，…λ)(b ax +，其中α，β，λ是分数，则令t b ax m =+，其中m 是α，β，λ分母的最小公倍数。

问题11：求下列不定积分：()⎰+xxdx 31十四．常用变量替换三：指数函数替换讲解：当被积函数含有xe 或xa 时，可考虑采用这种替换方法（x e t =，xa t =） 问题12：求下列不定积分：⎰-++11xxe e dx十五．常用变量替换四：倒替换讲解：当被积函数的分母最高次数高于分子的最高次数时，有时可以考虑倒替换（xt 1=） 问题13：求下列定积分：⎰+--21312123x x x dx十六．考察不定积分和定积分的分部积分法讲解：需要掌握不定积分和定积分的分部积分法，并会用分部积分法推导递推公式 不定积分的分部积分法则为：假定)(x u u =与)(x v v =均具有连续的导函数，则⎰⎰-=dx vu uv dx uv ''（或写成⎰⎰-=vdu uv udv ）定积分的分部积分法则为： 若)('x u 与)('x v 在],[b a 上连续，则⎰⎰-=b ab aab dx vu uv dx uv ''（或写成⎰⎰-=bab aab vdu uv udv ）分部积分法的关键是恰当原则u 和'v ，选取的原则一般为：'v 容易积分，⎰vdu 比⎰udv 容积计算。

问题14：求⎰=20sin πxdx I nn 和⎰=20cos πxdx J n n （2,1,0=n ……）十七．考察有理函数的积分讲解：有理函数可以分解成多项式和真分式之和。

积分的关键是求真分式的积分。

设有真分式)()()(x Q x P x R =。

首先将)(x Q 因式分解，若分解后含有因子1)(1na x -，2)(2n a x -……i n i a x )(-，1)(112m q x p x ++，2)(222m q x p x ++……j mj j q x p x )(2++，（要求042<-q p ）(按照高等代数的知识，一定可以分解成不超过二次的因式) 则采用待定系数法将)(x R 分解为jj j ii m j j m j m j j j j j jj j j m m m m m m n n i i i ii n n n n q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B q x p x C x B a x A a x A a x A a x A a x A a x A a x A a x A a x A )()()()()()()()()()()()(2,,222,2,22,2,222,2,222222,22,22221,21,2112,1,121122,12,11121,11,11,22,1,2,2222,221,21,1212,111,12221112211+++++++++++++++++++++++++++++++++++++-+-+-++-+-+-+-+-+-此时只含有四类积分：（D 为任意常数） （1）D a x A dx a x A+-=-⎰ln（2）D a x m Adx a x A m m+---=--⎰1))(1()(（1≠m ） （3）D pq Bp x p q Bp C q px x B dx q px x C Bx +----+++=+++⎰222242arctan 42ln 2 （4）dx q px x Bp C q px x m B dx q px x C Bx m m m ⎰⎰++-+++--=+++-)(1)2())(1(2)(2122其中⎰++m q px x dx )(2可令2px t +=，242p q a -=，则⎰⎰+=++m a t dt q px x dx m )()(222，再利用分部积分法得到递推公式求解。