,
, 所以
=
九. 设当 x 0 时,
连续, 求
.
解.
=
=
+
－
=
+c.
十. 设
, 求 f(x).
解. 令
, 所以
所以 十一. 求下列不定积分:
1.
解. 令
=
2. 解. 令
=
3.
解.
+
=
－=ຫໍສະໝຸດ 4. 解.( a > 0)
=
=
=
=
=
= 十二. 求下列不定积分:
1.
解.
=
2.
解.
=
=
= 一．若 f(x)在[a，b] 上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数 (x), 均有 , 则 f(x) 0. 证明: 假设 f() 0, a < < b, 不妨假设 f( ) > 0. 因为 f(x) 在[a ，b]上连续, 所 以存在 > 0, 使得在[ － , + ] 上 f(x) > 0. 令 m = 定义[a ，b] 上 (x): 在[ －, + ]上 (x) = 所以 . 按以下方法 , 其它地方 (x) = 0.
证明: 将 lnx 在 x 0 用台劳公式展开
（1 ）
令
x = f （t ）
代入（1 ）
将上式两边取
，最后一项为 0 ，得
十三. 设 f(x) 在[0, 1] 上有一阶连续导数, 且 f(1)－f(0) = 1, 试证:
证明:
十四. 设函数 f(x) 在[0, 2] 上连续, 且 [0, 2], 使|f( )| a.
1.
解.
= =
2.
解.
五. 求下列不定积分:
1.
解.
2.
解. =
3.
解.
4.
解.
六. 求下列不定积分:
1.
解.
=
=
=
=
=
2.
解.
=
3.
解.
七. 设
, 求
.
解.
考虑连续性, 所以 c = －1+ c 1 , c1 = 1 + c
八. 设
, (a, b 为不同时为零的常数), 求 f(x).
解. 令
.
证明: 令 t =
, 则
因为
> 0, (0 < t < 1). 所以
于是
立即得到
五. 设 f(x) 在[0, 1] 连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足 0 < < < 1 的任何 , , 有
证明: 令
(x ),
.
, (这是因为 t , x , 且 f(x) 单减).
,且
,
证明: 因为（0 ，1 ）上 f(x) 0, 可设 f(x) > 0
因为 f(0) = f(1) = 0
x 0 (0,1) 使
f(x 0 ) =
(f(x))
所以
>
（1 ）
在（0 ，x 0 ）上用拉格朗日定理
在（x 0, 1 ）上用拉格朗日定理
所以
（因为
）
所以 由（1 ）得
十二．设 f(x) 在[a, b] 上连续, 且 f(x) > 0, 则
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解.
(1)
(2)
(3)
因为
, 所以
积分收敛. 所以
=2
(4)
(5)
(6)
所以
, 立即得到
六. 设 f(x) 在[a, b] 上二阶可导, 且
< 0, 证明:
证明: x, t [a, b],

令
, 所以
二边积分
=
.
七. 设 f(x) 在[0, 1] 上连续, 且单调不增, 证明: 任给 (0, 1), 有
证明: 方法一: 令
( 或令
)
, 所以 F(x)单增; 又因为 F(0) = 0, 所以 F(1) F(0) = 0. 即
= 0,
= a > 0. 证明:
解. 因为 f(x)在[0, 2]上连续, 所以|f(x)| 在[0, 2] 上连续, 所以 [0, 2], 取 使|f( )| = max |f(x)| (0 x 2) 使|f()| |f(x)|. 所以
一. 计算下列广义积分:
.
和
矛盾. 所以 f(x) 0.
二. 设为任意实数, 证明:
=
.
证明: 先证:
=
令 t =
, 所以
= 于是
=
所以
=
.
所以
同理
.
三．已知 f(x) 在[0，1]上连续, 对任意 x, y 都有|f(x)－f(y)| < M |x －y|, 证明
证明:
,
四. 设
, n 为大于 1 的正整数, 证明:
九. 设 f 连续, 证明:
证明: =
所以
2
即
十. 设 f(x) 在[a, b] 上连续, 证:
在[a, b] 内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试
,
(a < x < b)
证明:
, 所以
,
即
;
即
所以
即
,
(a < x < b)
十一. 设 f(x) 在[0, 1] 上具有二阶连续导数 试证:
, 即
方法二: 由积分中值定理, 存在[0, ], 使
;
由积分中值定理, 存在[ , 1], 使 因为 所以 .
八. 设 f(x) 在[a, b] 上具有二阶连续导数, 且
, 证明: 在(a, b) 内
存在一点 , 使
证明: 对于函数 t, x [a,
，用泰勒公式展开：
b] =
(1) (1) 中令 x = a, t = b, 得到
(2)
(1) 中令 x = b, t = a, 得到
(3)
(3) －(2) 得到
于是 =
注: 因为需要证明的等式中包含 幂, 所以将 展开.
, 其中二阶导数相应于(b －a)的三次
泰勒展开; 若导数的阶数和幂指数相同, 一般直接将 f(x) 泰勒
一. 求下列不定积分:
1.
解.
2.
解.
3.
解. 方法一: 令
,
=
方法二:
=
=
二. 求下列不定积分:
1. 解.
=
2. 解. 令 x = tan t,
=
3. 解. 令
=
4. 解. 令
(a > 0)
=
5. 解. 令
=
=
=
=
6.
解. 令
=
三. 求下列不定积分:
1.
解.
2.
解. 令
,
= 四. 求下列不定积分: