课后反思：
（1）教学的有效性在于它的启发性。教师在教学实践中不能只考虑学生的应试解题能力，而忽略了 对学生创造力的培养。 （2）本节课充分挖掘并创造性的对课本练习题进行深度剖析，尝试研究性的高效教学模式，不仅让 学生体验科学的发展的一般性过程，更让学生亲自动手，合作讨论，在观察、类比中大胆猜想，大胆假设， 并对假设进行了一系列的分析，推理和论证，达到了预期的教学目标。 （3）不足之处： ①学生对构造法的理解不够深刻，在类比过程中不易想出结构 an+ M· an-1 =N（an-1+ M· an-2)； ② 在后续问题分析处理的数据表示略显繁琐，可以直接用 M1、N1、 M2、N2 替代与 A、B 有关的表 达式，简化书写过程，便于学生理解和形成整体性认知。
A2 4 B an a2
a2 an
A2 4 B A A2 4 B A a1 2 2
n 1
n 1
A2 4 B A A2 4 B A a2 a1 2 2图：
以人教 A 版高中数学必修 5 课本第二章：数列 复习参考题 B 组第 6 题（P69 页）为例，通过对问题 的分析和有效教学模式，全面提升学生的观察、类比、联想、推理和综合运算能力。
教学流程：
（1）展示问题，带学生阅读并审视题意； PPT 图片：
（2）引导学生思考问题，小组合作讨论并进行深度的分析研究： ① 据所给递推关系式 an=2an-1+3an-2 以及 a2 和 a1， 能否解决该数列第 n 项的求值问题？如果可以， 你认为这种方法是否适用于较大项的求值？为什么？ ② 想构造法：已知非等差数列{an}，若满足 an+1=A· an+ B (n≥2，其中 A、B 为非零常数),均可 通过拆分常数 B，构造出以（a1+M）为首项，公比 q=A 的等比数列{an+ M} ，即 an+1+M=A（an+ M)（或
a n 1 M A） ， （其 an M
中 M=
B ） A 1
对比构造法，我们是否也可以将形如 an=A· an-1+B· an-2 (n≥3)的式子作以下处理呢？ 即将 an=A· an-1+B· an-2 也同样通过拆分 A 与 B，构造出 an+ M· an-1 =N（an-1+ M· an-2)的结构。 我们先作出以下假设： 若上式成立，则可获得以下方程组：
“有效教学模式”的教学实践与反思
安徽新华学校 郭建德 教学的有效性在于它的启发性、它的创造性。有效的课堂教学绝不是简单地对教材现有知识和结论直 接的呈现，而应重在揭示隐含在其中的精彩而又独特的思维过程，并引导学生的思维深入到知识的发现或 再发现的过程中去。 下面是自己的一个教学片段，并加以分析。课题是“高中数学必修 5 第二章：数列通项求法” 。
A2 时，可以构造出结构 an+ M· an-1 =N（an-1+ M· an-2)，但只有一 2
A2 4 B A A2 4 B A M1 M 2 2 2 此时， 或 , 2 2 A 4B A A 4B A N1 N2 2 2
N M 2 ,并获得了关于 M、 N M 3
N 的两组解
M 1 M 3 或 ， 但此时在新的新构造的数列上出现的疑惑， 也未快速的找到问题的答案。 N 3 N 1
④ 第四小组：在第三组的基础之上进一步解决了新数列{an+1+ an}与{an+1 3an}的问题，即： 新数列{an+1+ an}是以 a2+ a1 为首项，3 为公比的等比数列；
a n 1 M B A） ， （其中 M= ）你能获得哪些新的认识？试一试？ an M A 1
③ 能对自己的解法作出类似的归纳，写出你的解题依据吗? （3）教师巡视课堂，观察并展示各学习小组内学生的解答过程： ① 第一小组：尝试反复推算数列的第 1 项至第 5 项，并比较观察 a1、a2、a3 、a4、a5 的 5 个数 之间的联系，但是无找到明显的关系。 ② 第二小组：在推算出 a3=19、a4=44 之后，改换套用构造法的结构 an+ M· an-1 =2（an-1+ M· an-2)， 但是在计算 M 时出现了麻烦，无法配平构造的等式。 ③ 第三组：大胆尝试在构造法的基础上，将 an-1 前的系数也用未知常数替代，列出新的结构： an+ M· an-1 =N （an-1+ M· an-2)， 并依此为基础列出了关于未知常数的方程组：
n 1
n 1
A2 4 B A A2 4 B A a1 2 2
A2 4 B A A2 4 B A a2 a1 2 2 2 A 4B
即可构造新数列{ an+1+ M1· an }与{ an+1+ M2· an }，其中 新数列{an+1+ M1·an}是以 a2+ M1·a1 为首项，N1 为公比的等比数列； 新数列{an+1+ M2·an}是以 a2+ M2·a1 为首项，N2 为公比的等比数列；
n 1 2 2 A2 4 B A A 4 B A A 4 B A an 1 an a2 a1 ① 2 2 2 故有： n 1 A2 4 B A A2 4 B A A2 4 B A an a2 a1 ② an 1 2 2 2 ① ②可得：
1 n 1 n 1 7 3 13 1 4
但对这种方法的解题依据尚未不能作出明确合理的解释，也未形成问题解决的一般性方法和结 （备注：班级学生根据学科成绩高、中、低搭配，按 5-8 人一组分成四个学习小组。 ） （4）教师总结，观察并适时评价各小组内学生的解答过程： 如果简单的从已知条件出发， 由 a1=5，a2=2 及 an=2an-1+3an-2 (n≥3),是可以依次求出 a3=19， a4=44， a5=145， …，但是，这对于求数列{an}中项数较大的项比较复杂，且不易得出结果。 第一小组善于从一般解题方法入手，快速并准确的计算出该数列的前 8 项并对数据认真比较， 虽然尚找到问题的解决办法，但也对该问题作了较为严谨的思考。 第二小组通过联想“构造法”的结构特征：an+1=A· an+ B (n≥2，其中 A、B 为非零常数)与本题中 所 给 结 构 an=2an-1+3an-2 (n ≥ 3) 从 形 式 上 看 有 类 似 之 处 ， 大 胆 尝 试 将 an=2an-1+3an-2 (n ≥ 3) 试 改 写 成 an+1+M·an-1=2（an-1+M·an-2),但是在配平等式的过程中却发现了这样的构造无法使 an-1 项符合要求，也未找 到问题的答案。但是奋进组大胆的假设并对假设进行分析论证的精神值得我们大家学习。科学发展本身就 是一个不断假设并推理论证的过程。 第三小组在构造过程中创新的运用未知常数替代了 an-1 项前的系数 2，从而巧妙的绕过了奋进组 的在配平系数中出现的问题，并找到了未知常数 M、N 的值。 第四小组在第三小组的基础上，不仅成功解决了未知常数 M、N 的求值，还进一步对构造的两 个新的等比数列的通项进行研究，并最终获得了问题的答案。但是对该问题的解法尚未给出合理的说明并 形成一般性结论。 应该说 4 个学习小组都对问题进行了认真的思考和分析。 （5）下面我们再次看下“构造法”的一般特征，并对该问题进行分析。 构造法： 已知非等差数列{an}，若满足 an+1=A· an+ B (n≥2，其中 A、B 为非零常数),均可通过拆分常数 B， 构造出以（a1+M）为首项，公比 q=A 的等比数列{an+ M} ，即 an+1+M=A（an+ M)（或
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新数列{an+1 3an}是以 a2 3a1 为首项， 1 为公比的等比数列； 并获得了以上两个新的等比数列的通项公式：
a n 1 a n 7 3n 1 n 1 a n 1 3a n 13 (1) an
论。
，联立上述 2 式，可获得数列{an}的通项：
N M A N M B
消元获得关于 N 的一元二次方程：
N 2 AN B 0
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① A2 4 B 0 时，无解，此时即不可构造出结构 an+ M· an-1 =N（an-1+ M· an-2)，故假设不成立， 不能运用构造法求此数列的通项； ② 当 A2 4 B 0 ，即 B 组常数 N、M 符合要求； ③ 当 A2 4 B 0 时，可以构造出结构 an+ M· an-1 =N（an-1+ M· an-2)，且可以获得 2 组常数 N、 M 符合要求。