一、是非题：１． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ．错误 ∵不满足罗尔定理的条件。

２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得极值．错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。

３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴的切线．错误 ∵曲线3x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。

４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值．正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。

５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹．正确二、填空：１．设()x bx x a x f ++=2ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a（ 23-），=b （ 16- ）． ∵()12++='bx xax f ，当2,121==x x 时，012=++b a ，0142=++b a ，解之得61,32-=-=b a２．函数()()1ln 2+=x x f 的极值点是（ 0=x ）．∵()x xx f 2112⋅+='，令()0='x f ，得0=x 。

又0>x ，()0>'x f ； 0<x ，()0<'x f ，∴函数()()1ln 2+=x x f 在0=x 取得极小值。

３．曲线()x x x f -=3的拐点是（()0,0）．∵()122-='x x f ，()x x f 4=''，令()0=''x f ，得0=x 。

又0>x ，()0>''x f ；0<x ，()0<''x f ，∴函数()x x x f -=3的拐点是()0,0。

４．曲线()x x f ln =的凸区间是（ ()+∞,0 ）．∵()x x f 1='，()21xx f -=''，使()x f ''无意义的点为0=x 。

当0>x 时，()0<''x f ，∴曲线()x x f ln =的凸区间是()+∞,0。

５．若212sin lim 0=-→x b e ax x ，则=a （ 1 ），=b （ 1 ）．∵x b e ax x 2sin lim0-→=-=→x b e ax x 2lim 021lim 210=-→x b e ax x ，即1lim 0=-→xbe ax x 又当0→x 时，1-xe ～x ，∴1,1==b a 。

三、选择填空：１．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ c ． ） a ．()xe xf = b ．()x xg ln =c ．()21x x h -= d ．()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sinx x xx x k∵()xe xf =在端点的值不相等；()x xg ln =在区间[]1,1-上不连续；对()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sinx x xx x k 在0=x 不可导；()21x x h -=在区间[]1,1-上满足罗尔定理的条件。

∴c 是正确的。

２．罗尔定理的条件是其结论的（ a ． ）a ．充分条件b ．必要条件c ．充要条件３．函数()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤-=x xx x x f 1110232在区间[]2,0上（ a ． ）a ．满足拉格朗日定理条件b ．不满足拉格朗日定理条件∵123lim201=--→x x ，11lim 01=+→x x ，()()11lim 1f x f x ==→ ∴函数()x f 在1=x 连续，函数()x f 在[]2,0上连续。

∵()()1231112-=-='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='==-x x x x f ，()1111121-=⎪⎭⎫⎝⎛-='⎪⎭⎫⎝⎛='==+x x x x f ∴函数()x f 在1=x 可导，函数()x f 在[]2,0上可导。

∴函数()x f 在[]2,0上满足拉格朗日定理条件，因而a 是正确的。

４．设()x f 在0x 有二阶导数，()00='x f ， ()00=''x f ，则()x f 在0x 处( a ． ) a ．不能确定有无极值 b ．有极大值 c ．有极小值 ５．设函数()x f 在()a ,0具有二阶导数，且()()0>'-''x f x f x ，则()xx f '在()a ,0内是（a ．）a ．单调增加的b ．单调减少的∵()()()02>'-''='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'x x f x f x x x f （∵()()0>'-''x f x f x ） ∴()xx f '在()a ,0内是单调增加的，因而a ．是正确的。

６．函数()x f 的连续但不可导的点（ d ． ）a ．一定不是极值点b ．一定是极值点c ．一定不是拐点d ．一定不是驻点四、计算题： １．0sin limtan x x xx x→--解 222220000sin 1cos 122lim lim lim lim tan 1sec tan 2x x x x x x x x x x x x x x →→→→--====----- 2．()xx e x x--→1cos 1lim 20解 ()()()2220001cos sin lim lim lim 11x x x x x x x x x x x x e →→→-===-⋅-⋅--３．⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x 解()200000111111lim lim lim lim lim 12221x x x x x x x x x x e x e x e x x e x x x x e →→→→→-----⎛⎫-===== ⎪--⎝⎭４．x x x sin ln lim 0→解22000002ln sin cot lim ln sin lim lim lim lim 011tan x x x x x x x x x x x x x x x→→→→→===-=-=- ５．11sin lim2-+→x x x x解原式))2221limlim12x x x x x →→→⋅+===+=６．sin limsin x x xx x→∞-+解 sin 1sin lim lim1sin sin 1x x x x x x x x x x→∞→∞--==++７．()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→x x x x x 11ln lim 210 解 ()()112200ln 1ln 11lim lim x xx x x x x x x x ++→→⎛⎫++--= ⎪ ⎪⎝⎭()()()21ln 1ln 111lim lim2x x x x x x x x→→++-++-==()00ln 11lim lim 222x x x x x x →→+=== ８．()201ln limxx x +→ 解 ()2200ln 1lim lim x x x x xx →→+==∞９．()x x x +⋅+→1ln ln lim 0解()0000000021ln lim ln ln 1lim ln lim lim 011x x x x xx x x x x x x→+→+→+→+⋅+====- 10． 求函数()3231x x y -⋅=的极值．解 定义域为R对函数两边取自然对数得（不妨设01x <<）12ln ln ln(1)33y x x =+-11233(1)y y x x '=+-所以123133(1)3(1)x y y x x x x ⎡⎤-'=+==⎢⎥--⎣⎦令0y '=，得13x =；0x =，1x =为不可导点 列表所以极大值为1()3y =，极小值为(1)0y =．11．若直角三角形的一直角边与斜线之和为常数，求有最大面积的直角三角形． 解 设两直角边分别为x 、y ，则面积12S xy =（0,0x y >>） 设常数为c ．由c x =222c y x c-=．所以224c y S y c-=⋅（0y c <<） 2344c y S c '=-，令23044c y S c '=-=，得y =，所以3c x =驻点唯一，故当两直角边分别为3c12．求乘积为常数0a >，且其和为最小的两个正数． 解 设其中一正数为x 、则另一正数为ax；设这两个正数之和为S ． aS x x=+（0x >） 21aS x'=-，令0S '=，得x =13．设圆柱形有盖茶缸V 为常数，求表面积为最小时，底半径x 与高y 之比． 解 底半径为x ，则高y 为2Vx π；设表面积为S ． 2222222V V S x x x x xππππ=+⋅=+；224VS x x π'=-，令0S '=，得x =驻点唯一，故当底半径x =，高y =。