设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==0)sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。

f x x xa b x a f x x b f x ()ln ()()=-→→1设，问：当趋于何值时，为无穷小。

f x xx x f x ()tan ()=2．该邻域内　的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00x f x g x AB B x g A x f x x x x >>==→→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。

lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 0{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +设　其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()limsincos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121021211ππ求的表达式f x x n n ()lim (ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n xx x x x f ---+∞→++=12lim )( ．，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞→=ϕ++ϕ+ϕ+=+-=ϕ 求的表达式．f x x x x x x xx n n ()lim ()()=+++++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-11122221 ．，求，其中设n n k nk k n S k b b kS ∞→=+==∑lim )!1(1求的表达式。

f x x x x x x x n n n n ()lim ()()()=+-+-++-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞1121212222 ．的表达式，其中求01)1(1)1(lim)(≥+++++=∞→x x x x x x f nn n ．其中．求数列的极限)0( )(23)(23lim 11>>-+-+++∞→b a b a b a n n n n n求数列的极限．lim ()n n n n →∞⨯+⨯-53323 求数列的极限．lim()n n n →ℵ++++-123453212．，其中求数列的极限1)321(lim 12<++++-∞→q nq q q n n求数列的极限其中．lim ()()()()()()()()n a a a a a a a n a n a n a →∞+++++++++-+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥>11211231110 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⋅+⋅∞→)12)(12(1531311lim n n n 求数列的极限 ．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+⋅+⋅∞→)1(1431321211lim n n n [])0( )1(321lim 222232>-++++∞→a n na n 其中求数列的极限．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n 求数列的极限．lim ()n n n n →∞+-+21[]求数列的极限．lim ()n n n n →∞++--2451．求数列的极限nn n n n n )1)(1(63lim 34+---+∞→．其中．求数列的极限)1( 2lim ≠+∞→a a a nnn ．求数列的极限)11()311)(211(lim 222nn ---∞→)200( 2122lim ≠>>+-+--+∞→b b a n b n n a n n 且，．求数列的极限．，，且的某邻域内若在B x g A x f x g x f x x x x x ==>→→)(lim )(lim )()(00．试判定是否可得：B A >是否成立？为什么？，则，若0)()(lim 0)(1lim 0)(lim 000=βα≠=β=α→→→x x b x x x x x x x x[][]确定，之值，使，并在确定好，后求极限a b x x ax b a b xx x ax b x x lim()lim ()→+∞→+∞++-+=++-+347034722求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222[]求极限．lim ()x xx x x →+∞++-+2251 求极限．lim ()x x x x →-∞-+++485212求极限．lim()()()()()()()x x x x x x x x →∞-----++121314151233232 求极限．lim ()()()()()()x x x x x x x →∞+++++-⋅12131415153222222222335求极限　，．lim ()x xxa a a a →+∞+>≠1012为无穷小．时，之值，使当，确定)(54)(2b ax x x x f x b a +-+-=-∞→．为自然数，求极限)( )2(lim n m ax a a x n n mm a x ---→ 设f x ax a x ax a x a()()()=------2211222问：当为何值时，； 当为何值时，； 当为何值时，，并求出此极限值。

()lim ()()lim ()()lim ()1212301112a f x a f x a f x x x x →→→=∞=>求极限．limtan sin x x x x →+-+0311 )20(tan tan lim π<α<α-α-α→　求极限x x x 求极限　为常数，．lim sin cos sin cos ()x x xpx pxp p →+-+-≠0110．求数列的极限1)41(arctan lim 2+π-+∞→n n n n[]　答（ ） 存在不一定存在都存在，而，不一定存在存在，但不一定存在存在，但，则，上的单调增函数，，是定义在设)(lim )()(lim )0()0()()0()0()()0()0()()()(00000000x f D x f x f x f C x f x f B x f x f A b a x b a x f x x x x →→+--++-∈．存在，并求出此极限值，证明：，且设n n n n x ax x a x ∞→+=>>lim 011。

存在，并求出此极限值，证明，且设n n n n x x x x ∞→++==lim 2211设，且其中，证明极限存在，并求出此极限值．x x x ax a x n n n n n 110120>=+>+→∞()()lim设，，，．证明极限存在，并求出此极限值。

x x x x x x x x n nnn n 010*******==++=+++→∞lim存在．求证：为正整数，设n n n x n n x ∞→++++=lim )(131211222 .lim 1311311311112存在，求证：设n n n n x x ∞→++++++++=设，，，，证明：；求极限．x x x n n x n x n n n n 1212132413521246211212==⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅<+→∞()()()()lim求极限．lim ...x x x x x x →∞+++++100101010010001232 {}．为定数）证明：适合设数列0lim ( ,11=<≤∞→+n n nn n x r r x xx．则＂证明数列的极限用极限存在的＂夹逼准02lim=∞→nn n．求数列的极限)12111(lim 222n n n n n +++++∞→ ．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++∞→222)2(1)2(1)1(1lim n n n n[]设，，当，当讨论及．f x xg x x x x x g x f g x x x ()sin ()lim ()lim ()==-≤+>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪→→220200ππ [])()(lim , )()(lim )(lim 0000u f x f u f u f u x x x u u x x =ϕ==ϕ→→→证明：，设。

求极限　、为正整数．lim ()x m n m n x x x x m n →-+-12{}．求证：适合若数列rra a a r a a r a a a n n n n n n n --=<<-=-∞→-+1lim )10()(1211nn n n n n x x n a n n a x 1lim , 0!＋求极限为正整数是常数，　其中设∞→>⋅=设时，与是等价无穷小且证明：x x x x x f x Ax f x Ax x x x →⋅=⋅=→→00αβαβ()()lim ()()lim ()()设，且，试证明必有的某个去心邻域存在，使得在该邻域内有界lim ()().x xf x A A x f x →=≠001[][]下述结论：＂若当时，与是等价无穷小，则当时，与也是等价无穷小＂是否正确？为什么？x x x x x x x x →→++0011αβαβ()()ln ()ln ()．求极限应用等阶无穷小性质，xx x x )1arctan()1arctan(lim 0--+→求极限　为自然数．．lim()()x nax xn a →+-≠0111设当时，与是等价无穷小，且，，证明：．x x x x f x x a f x x g x A f x x g x A x x x x x x →=≠-=-=→→→00001αβααβ()()lim ()()lim ()()()lim ()()()设当时，，是无穷小且证明：．x x x x x x e e x x x x →-≠--00αβαβαβαβ()()()()~()()()()若当时，与是等价无穷小，是比高阶的无穷小．则当时，与是否也是等价无穷小？为什么？x x x x x x x x x x x x →→--0101ααβααβαβ()()()()()()()()[][]设当时，、是无穷小，且证明： 与是等价无穷小．x x x x x x x x x x →-≠+-+-0011αβαβαβαβ()()()().ln ()ln ()()()设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，与是等价无穷小．x x f x g x x x f x g x g x →→+00()()()()()吗？为什么？也是等价无穷小与无穷小。