高等数学试题库 第二章 导数和微分
一．判断题
2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim
lim ()()∆∆∆∆∆∆t t s
t s t t s t t
→→=+-0000与 ∆t 有关. ( )
2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( )
2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切
线与x 轴垂直. ( )
2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( )
2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224
3
21
'=-=- ( )
2-1-11 已知y= 3x 3
+3x 2
+x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2
+6x+1 , y '|x=2=49
所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( )
二．填空题
2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ∆x=_______,函数增量 ∆y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2
+bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________.
2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________.
2-2-5 若 lim
()()
x a
f x f a x a
→-- 存在,则lim ()x a f x →=______________.
2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有
__________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线.
2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________.
2-2-8 函数
f x x x x x (),,
ln ,,
=-+≤>⎧⎨⎩2111
在其定义域上不可导点是____________.
2-2-9 若y=3e x
+e -x
,则在y '=0时,x=_________.
2-2-10 抛物线y=x 2
及y=2-x 2
在两个交点处的夹角是___________. 2-2-11 (x 2
sinx 2
)' =__________=2xsinx 2
+2 x 3
cosx
2
2-2-12 当f(x)= (2x+6)6
时,在f '(x)中x 3
的系数是__________.
三．选择题
2-3-1 若函数f(x)在x 处可导,则f '(x)等于 ( )
A f x x f x x
C f x x f x x B f x x f x x
D f x x f x x x x x x x .
lim
()().lim
()()
.
lim ()().
lim ()()∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆→→→→-------+--00002
2-3-2 在平均变化率∆y/∆x 取极限lim
∆∆∆x y
x
→0 的过程中,x 与∆x 的状态分别是
( )
A. x 与∆x 都是常量. C. x 是变量而∆x 是常量.
B. x 与∆x 都是变量. D. x 是常量而∆x 是变量.
2-3-3 在抛物线y= x 2
上切线与OX 轴构成45度角的交点是( ) A. (-1/2,1/4) B. (1/4,1/2) C. (-1/2,-1/4) D. (1/2,1/4)
2-3-4 设函数y=f(x)在点x 0 处可导, 且f '(x 0)>0,则曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))
处的切线与x 轴正向( )
A. 平行
B. 垂直
C. 成钝角
D. 成锐角 2-3-5 双曲线xy=1在点(1,1)处的切线与法线方程分别为( ) A. x+y-2=0,x-y=0 B. y-x-2=0,x+y=0 C. x-y-2=0,x-y=0 D. x+y-2=0,x+y=0 2-3-6 下列导函数错误的是( )
A x x
B x x
C x x x
D x x x
.(sin )'sec .(cos )'csc .(
sin cos )'cos .
(cos sin )'sin =
=-
=-=-11
1
122
2-3-7 若偶函数f(x)在x=0处的导数存在,则f '(0)的值( )
A. 等于0
B. 大于0
C. 小于0
D. 不能确定. 2-3-8 若直线y=3x+b 为曲线 y=x 2
+5x+4的切线,则 ( ) A. b=3 B. b=-3 C. b=-4 D. b=4. 2-3-9 已知f(x)=sin(ax 2
),则f '(a)等于( )
A. cosax 2
B. 2a 2
cosa 3
C. x 2
cosax 2
D. a 2
cosa 2
2-3-10 设f(x)= x 2/3
,则f '(0)=( )
A. 0
B. +∞
C. -∞
D. 不存在 2-3-11 设y=arctg((x+1)/(x-1)),y '=( )
A x
B x
C x
D x x ...
.
-
++--
++111
111
112222
2-3-12 设y=12+ln x ,则y '=( )
A x x
B x x x
C x x x
D x x x
.
ln ln .ln ln .
ln ln .
ln ln 2121121222
2+-+++
2-3-13 已知y=xe x
,则y (n)
= ( ) A. xe nx C. x(e x
-n) B. ne x
D. e x
(x+n)
四．综合计算题
2-4-1 求y=e at
sin ωt 的二阶导数, (a, ω为常数) 2-4-2 求y=sin(x+y)的微分.
2-4-3 如果y=x 是曲线y=x 3
-3x 2
+ax 的切线,求常数a.。