,
mV)
量纲不同，只是时空各自分量 p是四矢量的空间分量，V 不是！— —测量公式
动力学方程仅仅变迁为
例子：Lorentz力— —习题
动力学方程
引入四力——人造！
动力学方程仅仅变迁能量和动量表达式
标导数f
dp
(？, f)
d
形式完全同于牛顿！引入4力！

例子：Lorentz力 — —习题
— —改造了电场和磁场表达式？
dt • Newton a Newton
V)V
2
2a
Newton
]
正交 u •a 0
u
dx
( ,V)MCIF (1,0)
~a
2a[Ndew4 t(oan]NMewCtonI•FV(0)，, a4
(a Newton ) Newton
•
V)V
u•a 0
矢量优点第3条！
如何理解四维矢量2：类空
• 四维矢量 vs 三维矢量——3+1分解
– 例：x轴基矢量
ex
(0,
ex
)同时线上
7.9节、20.2节类空面、类时面
动力学求解例题
• 匀加速直线运动 • Hartle 例题5.3 • 习题5.6 • 四维求解法MTW
理解物理意义 与上次课推导的固有加速度比较
~a
d~u
, ~u
d~x
, ~u
习题５.４
固有加速度与四加速度 一致？
• 垂直于四速度 • 大小一致 • 方向旋转?
– ——需要四维思维！
~a
[
4
(a
Newton
•
V),
4
(a
Newton
•
V)V
2a
] Newton
~a ~a∥ ~a
~a∥
[
4
a Newton∥
V,
4a Newton∥]
~~aa∥空 间(0,部 2分a New4taonNe)wton∥横向纵固向有固加有速加度速，度无 L3aoNreewntotnz∥，boWosht!y?
t2e0 • e0 txet • ex txet • ex x2ex • ex 对比— —线元以坐标（t，x）表达— —定义之第一部分 a • a a 2 s2 -t2 x（2 或无穷小） 方法一：（t，x）任意
方法二：坐标基矢量{e }也是矢量— —习题
几何体——三位一体 MTW
相对论四维描述x ( ) — —某个参数 类时固有时
自由度 1？
四速度
重点新概念！
定义、特性
标导数u dx — —v dx
d
dt
u
dx
( ,V)MCIF (1,0)
d
速度相加非线性！（Lightman习题1- 3）
u • u
dx
d
dx
d
ds2
d 2
1类时单位矢量！
意义
u
dx
( ,V)MCIF (1,0)
• Lorentz Transformation
如何理解四维矢量1：类时 ——回忆固有量表格
• 四维矢量 vs 三维矢量——3+1分解
– t轴基矢量
四加速度
重点新概念！
定义、特性
标导数a du — —u( )
d
类比 比较牛顿加速度a dV
~~aa~~aa2MaC[NI6e4Fw((ata(o0nNN，固eewwttoa有onnN••e加wVVto)速)n2,)度4(a4
广义相对论课堂11 动力学方程4维形式
2012.10.23
总结
• 相对论性动力学方程=》质能关系 • 矢量定义为一个几何中的位移矢量 • 标量积定义=>算法 • 基矢量定义——与坐标关系
Lorentz系中标量积计算公式
a • b a b (g ) e • e闵氏度规 dx • dx ds2 dx dx
基矢量与坐标关系？
基矢量定义dx dxe 单位长度 坐标增长方向
a
(a
0
,
a
i
)
(a
t
,
a)
（t，x）
位移矢量
ae xe — —{e } {et , ex} {e0 , ei}一组坐标基 点积以坐标基矢量{e }表达 定义之第二部分 a • a a e • a e a a e • e
d
u • u
dx
d
dx
d
ds2
d 2
1类时单位矢量！
非3速度V！仅数学
单位切矢量— —曲线— —对比三欧V
世界线固有时（曲线弧长）增长方向
x u 极限下dx u d
切线是曲线一级线性近似
共动系时间轴基矢量
对比三维欧式空间速度矢量
• 相似：切矢量 • 不同：单位长度
对比时间“矢量”
• Minkowski Flat Spacetime Geometry—— 回忆朗诵Minkowski掷地有声的宣言！
Einstein1905：Planck
分析力学vs牛顿矢量力学— —能动量地位
完全类似3维牛顿方程：定义了4力
标导数f
(f t , f)
dp
(
dE ,
dp )
d dt dt
f ~a
ma
[
4
(a
Newton
•
V),
4
(a
Newton
•
V)V
2a
Newton
抽象概念abstractnotion a 坐标分量coordinatecomponenta 形象图像— Cartan —时空图
运动学
类时世界线 类光世界线
类时世界线——慢子
牛顿t、xi钟尺网格 坐标网格 世界线由三个函数xi (t)给定 如匀加速x(t) （t 2 a-2）1/2，y z 0
t
t'
x' a
x
这提示四维形式可统一 纵向和横向
四维成立，并满足对应原理，则总 成立
4维的好处
• 充分利用相对性原理——Lorentz不变性 ——例：辐射功率 • 形式统一纵向和横向
如何理解四维矢量之二 分量boost变换
~a∥
[
4
a Newton∥
V ,
4
a
Newton∥
]
Lorentz实验室系boost到共动系，顺逆
( ,V)
只~a~a2有d纵[ 64向((aa加NNeeww速dttoonn度••VaVN))e2,wto4n(•a4VNaeNwetownato•nNVe2w)toVn
V
2a Ne
时，
wton
]
固固只~a 2有有有加加横 4速速向(度度加2V大大速2 小小度1a)为为aNeNwe32twoaanto•NNn ee2Vwwttoonn;06时a N，ewton 2 ,
~Ma MCCIFI[F0(,0,3a3NaeNwetown∥ton]∥(0,2aa
) proper
Newton
)
对应原理—— 质量、动量、力
ma∥
3m
dV∥ dt
m
a
2m
d V dt
四加速度点积投影到共动系空间轴
纵向和横向
• 作为习题？
四动量
定义、特性
标量乘以矢量p
mu
(E,
p)
(mc2