数学三测试卷
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）设
f
(
x)
x tan t 2dt
0
x3
,
k,
x 0, 在 x 0 处连续，则 k （ x 0
）
（A） 1 . 3
（B） 1 . 6
y y(x) ______ .
(12) 设 f (x) 在 (, ) 有三阶连续导数，且满足 2 f (x) f ( x) 2(x x 2), 则 2
f (0) _____ .
0
0
0
1
4
1 0 0 0
（13）设 A 0
1
0
, 则行列式 ( A1)* ______ . 0
2
0
求 lim a . ba b a
（ 19 ）（ 本 题 满 分 10 分 ） 计 算 二 重 积 分 [cos x2 sin y2 sin(x y)]d ， 其 中
D
D {(x, y) x2 y 2 a 2, 常数a 0} .
（20）（本题满分
11
分）设线性方程组
2
x1
x1 (k
X
2 1
X
2 2
X
2 3
X 42
, 对给定的
(0 1), 数 y 满足 P{Y y } , 则有（ ）
（A） y y1 1. （B） y y1 1. 2
（C） y y1 1.
2
（D） y y1 1.
22
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（Ⅰ）求 k 的值；（Ⅱ）求矩阵 A3.
（21）（本题满分 11 分）设 n 阶实对称矩阵 A 只有两个不同的特征值 1 1和 2 ，且 A 的 属于 1 的特征向量仅有 (1, 0,, 0,1)T . （Ⅰ）求矩阵 A ；（Ⅱ）当 2 满足什么条件时， A 是
正定矩阵.
（ 22 ）（ 本 题 满 分 11 分 ） 设 随 机 变 量 ( X ,Y ) 的 概 率 密 度 函 数 为
lim
x0
1
sin 0
x
sin(t
2
)dt
x3
1cos
x2
.
（16）（本题满分 10 分）设 y y(x) 满足微分方程 y 4 y 3y xe x, 且其图形在点 (0,1) 处的切线与曲线在 y x2 1 x 1在该点处的切线重合，求 y y(x).
4 （ 17 ）（ 本 题 满 分 10 分 ） 函 数 z f (x, y) 的 全 增 量 z (2x 3)x (2 y 4)y, 且
（C）0.
（D）3.
（2）设
f
(x)
lim
n
sin n
x
cosn
x (0
x
),
则
f
(x)
在 (0,
)
内不可导的个数为（
）
n
2
2
（A）3.
（B）2.
（C）1.
（D）0.
（3）下列级数中发散的是（ ）
（A） (1)n tan .
n1
3n
(1)n
（B）
.
n2 n (1)n
（C） (1)n1 ln n 1 .
(9)
设
f
(
x)
在
x
0
处连续，且
lim
x0
1 cos e f (x)
x 1
1, 则
f (x) 的极小值为 _____ .
(10) 定积分 I 2018 x(x 1)(x 2)(x 2018)dx _____ . 0
(11) 设 y y(x) 满足微分方程 xy xex y, 且 y(1) 1 sin xdx, 则 0
0 3 1
（A）1.
（B）-1.
（C）2.
（D）-2.
（6）设 n 维列向量组（Ⅰ） 1, 2 ,, m (m n) 线性无关，则 n 维列向量组（ Ⅱ）
1,2 ,, m 线性无关的充分必要条件为（ ）
（A）向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示 （B）向量组（Ⅱ）可由向量组（Ⅰ）线性表示
（C）矩阵 A (1,2,, m) 与矩阵 B (1, 2,, m) 等价
（Ⅰ）求 的矩估计值； （Ⅱ）求 的最大似然估计量.
3
0
1 3
0
（14）设二维随机变量 ( X ,Y ) ~ N (0, 0, 1 , 1 , 0), 则方差 D( X Y ) _____ . 22
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
1
（15）（本题满分
10
分）计算
n1
n
n
(1)n
（D）
.
n2 n (1)n
（4）设 I1
2 0
sin x
xdx, I2
2
x dx, 则（
0 sin x
）
（A） I2 1 I1. （B） I2 I1 1. （C）1 I2 I1. （D）1 I1 I2.
1 2 k （5）设 A 1 1 2 , B 是 3 阶矩阵， r(B) 2, r( AB) 1, 则 k （ ）
（D）向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）等价 （7）设袋中有 6 只红球、4 只白球，任意摸出一只球，记住颜色后放回袋中，共进行 4 次，
设 X 表示摸到红球的次数，则 EX （ ）
1
（A） 12 . 5
（B） 2 . 5
（C） 8 . 5
（D） 48 . 5
（8）设随机变量 X1, X 2 , X 3, X 4 相互独立且都服从 N (0,1), 已知 Y
2
x2 x3 4)x2
3, 5x3
6,
有无穷多解，3
阶矩阵
A
x1 2x2 kx3 3,
有 特 征 值 1 1, 2 1, 3 0, 其 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为
1 (1, 2k, 1),2 (k, k 3, k 2),1 (k 2, 1, k 1).
f
(x,
y)
Ae(4 x3 y)
,
x 0, y 0
0,
其他.
（Ⅰ）求常数 A, 并判断 X 与Y 的独立性；（Ⅱ）求 Z X Y 的概率密度 fZ (z).
（23）（本题满分
11
分）设总体
X的概率密度为f源自(x; )x 1,
0 x 1, 其中 0
0,
其他,
为未知参数， (x1, x2 ,, xn ) 为 X 的简单随机样本值.
2
f (0, 0) 0, 求 z f (x, y) 在 D : x2 y2 25 上的最值.
（18）（本题满分 10 分）设 f (x) 在[a, b] 上有二阶导数，且 f (x) 0. （Ⅰ）证明至少存在
一点 (a,b) ，使得 b f (x)dx f (b)( a) f (a)(b );（Ⅱ）对（Ⅰ）中的 (a,b) ， a