2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数三)一、 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。
(1)()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数,对任何0b a >>,记()baM xf x dx =⎰,01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+⎰⎰,则必有( )(A )M N ≥;(B )M N ≤;(C )M N =;(D )2M N =;(2)设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导,函数()y y x =的图像为则其导数的图像为( )(A) (B)(C) (D)(3)设有下列命题:①若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛,则1n n u ∞=∑收敛; ②若1n n u ∞=∑收敛,则10001n n u ∞+=∑收敛;③若1lim1n n nu u +→∞>,则1n n u ∞=∑发散; ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛,则1n n u ∞=∑,1n n v ∞=∑收敛 正确的是( )(A )①②(B )②③(C )③④(D )①④(4)设220ln(1)()lim2x x ax bx x →+-+=,则( ) (A )51,2a b ==-;(B )0,2a b ==-;(C )50,2a b ==-;(D )1,2a b ==-(5)设A 是n 阶矩阵,齐次线性方程组(I )0Ax =有非零解,则非齐次线性方程组(II )T A x b =,对任何12(,,)T n b b b b =L(A )不可能有唯一解; (B )必有无穷多解;(C )无解; (D )可能有唯一解,也可能有无穷多解(6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵,则行列式1020TA B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为 (A )1(2)n A B --; (B )2T A B -; (C )12A B --; (D )12(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ,12,,,n X X X L 为来自X 的样本,X 为样本均值,则( )(A )2211()~(1)1n i i X X n n χ=---∑; (B )2211(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑; (C )2212()~()2ni i X n χ=-∑; (D )221()~()2n i i X X n χ=-∑; (8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ,若概率1()2P aX bY μ-<=则( )(A )11,22a b ==;(B )11,22a b ==-;(C )11,22a b =-=;(D )11,22a b =-=-;二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。
把答案填在题中的横线上。
(9)已知3232x y f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭,2()arcsin f x x '=,则0x dy dx == 。
(10) 方程301()()3xx f x t dt x f t dt -=+⎰⎰满足(0)0f =的特解为 。
(11) 2222()Dx y d a b σ+=⎰⎰ 。
其中D 为221x y +≤。
(12)24610(1)1!2!3!x x x x dx -+-+=⎰L 。
(13)设A 是三阶矩阵,已知0,20,30A E A E A E +=+=+=,B 与A 相似,则B 的相似对角形为 。
(14) 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取的两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为 。
三、解答题15~23小题,共94分。
解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)(本题满分10分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式22222430u u u x x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂。
确定,a b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20uξη∂=∂∂。
(16) (本题满分10分)求幂级数1(1)n n n x ∞=-∑的收敛域及其在收敛域内的和函数;(17) (本题满分10分)设()f x 在[0,)+∞连续,且101()2f x dx <-⎰,()lim 0x f x x→+∞=。
证明:至少0,ξ∃∈(+∞),使得()f ξξ+=0。
(18) (本题满分10分)过椭圆223231x xy y ++=上任一点作椭圆的切线,试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
(19) (本题满分10分)设()0()0x f x e xx g x xax b x ⎧--<⎪=⎨⎪+≥⎩,其中()f x 在0x =处二阶可导,且(0)(0)1f f '==。
(I )a 、b 为何值时()g x 在0x =处连续?(II )a 、b 为何值时()g x 在0x =处可导? (20) (本题满分11分)(21)(本题满分11分)设A 为三阶方阵,123,,ααα为三维线性无关列向量组,且有123A ααα=+,213A ααα=+,312A ααα=+。
求(I )求A 的全部特征值。
(II )A 是否可以对角化?(22)(本题满分11分)设,A B 为相互独立的随机事件,已知()(01)P A p p =<<,且A 发生B 不发生与B 发生A 不发生的概率相等,记随机变量 (I )求(,)X Y 的联合分布律;(II )在0Y =的条件下,求X 的条件分布律; (Ⅲ)计算XY ρ.(23)(本题满分11分)设两随机变量(,)X Y 在区域D 上均匀分布,其中{(,):1}D x y x y =+≤,又设U X Y =+,V X Y =-,试求: (I )U 与V 的概率密度()U f u 与()V f v ; (II )U 与V 的协方差cov(,)U V 和相关系数UV ρ数三参考答案二、 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。
(1) A解:设0()(),0xF x x f t dt x =>⎰,则所以,001()[()()]2b b a a M xf x dx b f x dx a f x dx N =≥+=⎰⎰⎰(2)B解:由于函数可导(除0x =)且取得两个极值,故函数有两个驻点,即导函数图像与x 轴有且仅有两个交点,故A ,C 不正确。
又由函数图像,极大值应小于极小值点,故D 不正确。
(3)B解:因级数10001n n u ∞+=∑是1n n u ∞=∑删除前1000项而得,故当1n n u ∞=∑收敛时,去掉有限项依然收敛,因此10001n n u ∞+=∑收敛,若1lim1n n nu u +→∞>,则存在正整数N ,使得n N ≥是,n u 不变号。
若0n u >,有正项级数的比值判别法知n n Nu ∞=∑发散。
同理可知,如果0n u <,则正项级数()n n Nu ∞=-∑发散,因此nn Nu ∞=∑发散。
故②③正确,选B (4)A解:2200ln(1)()1/(1)(2)lim lim 22x x x ax bx x a bx x x→→+-++-+==,因0lim 0x x →=,则 0lim1/(1)(2)0x x a bx →+-+=,故1a =。
而22200ln(1)()ln(1)lim lim 2x x x x bx x x b x x →→+-++-=+=,故122b +=-,所以52b =- 【也可以用泰勒公式计算】 (5)A解:0Ax =有非零解,充要条件是()r A n <,由此即可找到答案。
(6)D解:1020T A B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=11202202TT A A B B --⎡⎤-=--⎢⎥-⎣⎦=12(2)nA B -- (7)C解:由于2~(2,2)i X N ,所以2~(0,1)2i X N - 故222~(1)2i X χ-⎛⎫ ⎪⎝⎭,2212~()2ni i X n χ=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑(8)B因为aX bY -服从正态分布,股根据题设1()2P aX bY μ-<=知, ()()()()E aX bY aE X bE Y a b μμ-=-=-=,从而有1a b -=,显然只有(B )满足要求。
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。
把答案填在题中的横线上。
(9)应填32π。
解:由3232x y f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭,2()arcsin f x x '=得 (10)应填()2(1)2x f x x e =+-解:令x t u -=,原方程变为30001()()()3x x x x f u du uf u du x f t dt -=+⎰⎰⎰方程两边对x 求导得20()()xf u du x f x =+⎰再两边对x 求导得()2()f x x f x '=+,即2dyy x dx-=- 由(0)0y =得2C =-,故()2(1)2x y f x x e ==+- (11)应填2211()4a b π+(12)应填11(1)2e --解:因224622223()()(1)[1]1!2!3!1!2!3!x x x x x x x x x xe -----+-+=++++=L L 故 原式22211121000111(1)222xx x xe dx e dx e e ----===-=-⎰⎰(13)应填123-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭【形式不唯一,只要是对角线上为-1,-2,-3就对】 解:由0,20,30A E A E A E +=+=+=,知A 的特征值为11231,2,3λλλ=-=-=-,相似矩阵具有相同的特征值,所以B 的特征值也为11231,2,3λλλ=-=-=-,故B 相似的标准形为123-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (14)应填解:设A :“所取的两件产品中至少有一件事不合格品”,B :“所取的两件都是不合格品”因为226102()1()1(/)3P A P A C C =-=-=,224102()/)15P B C C ==所以()()1()()()5P AB P B P B A P A P A ===三、解答题15~23小题,共94分。
解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15) (本题满分10分)解:2222222,2u u u u u u u x x ξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂, 222222222,2u u u u u u u a b a ab b y y ξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂, 将以上各式代入原等式,得2222222(341)[64()2](341)0u u u a a ab a b b b ξξηη∂∂∂+++++++++=∂∂∂∂,由题意,令223410,3410,a ab b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩且64()20ab a b +++≠ 故1,1,31,1,3a a b b =-⎧⎧=-⎪⎪⎨⎨=-⎪⎪=-⎩⎩或 (16) (本题满分10分)解:(I )由于lim11n nn →∞=+,所以11x -<,即02x <<, 当0x =和2x =时幂级数变为1(1)nn n ∞=-∑及1n n ∞=∑,均发散,故原级数的收敛域为(0,2)设1111()(1)(1)(1)(1)()nn n n s x n x x n x x s x ∞∞-===-=--=-∑∑则11111()(1)1(1)2xn n x x s x dx x x x∞=--=-==---∑⎰,所以1211()2(2)x s x x x '-⎛⎫== ⎪--⎝⎭,则21()(2)x s x x -=- (17) (本题满分10分)证明:作函数()()F x f x x =+,有1111()[()]()02F x dx f x x dx f x dx =+=+<⎰⎰⎰。