11701 B 本科2001年全国大学生数学建模竞赛答卷（全国一等奖）学员：叶云周迎春齐欢指导老师：朱家明公交车调度方案的优化模型摘要本文建立了公交车调度方案的优化模型，使公交公司在满足一定的社会效益和获得最大经济效益的前提下，给出了理想发车时刻表和最少车辆数。

并提供了关于采集运营数据的较好建议。

在模型Ⅰ中，对问题1建立了求最大客容量、车次数、发车时间间隔等模型，运用决策方法给出了各时段最大客容量数，再与车辆最大载客量比较，得出载完该时组乘客的最少车次数462次，从便于操作和发车密度考虑，给出了整分发车时刻表和需要的最少车辆数61辆。

模型Ⅱ建立模糊分析模型，结合层次分析求得模型Ⅰ带给公司和乘客双方日满意度为（0.941，0.811）根据双方满意度范围和程度，找出同时达到双方最优日满意度(0.8807,0.8807)，且此时结果为474次50辆；从日共需车辆最少考虑，结果为484次45辆。

对问题2，交待了综合效益目标模型及线性规划法求解。

对问题3，采集方法是遵照前门进中门出的规律，运用两个自动记录机对上下车乘客数记录和自动报站机(加报时间信息)作录音结合，给出准确的各项数据，返站后结合日期储存到公司总调度室。

关键词：公交调度模糊优化法层次分析满意度一、问题的提出公交公司制定公交车调度方案，要考虑公交车、车站和乘客三方面因素。

我国某特大城市某条公交线路情况，一个工作日两个运营方向各个站上下车的乘客数量统计见表1。

已知运营情况及调度要求如下：1、公交线路上行方向共14站，下行方向共13站；2、公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100人，据统计客车在该线路上运营的平均速度为20公里/小时。

车辆满载率不应超过120%，一般也不低于50%；3、乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟。

现提出以下三个问题：1、试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。

2、如何将这个调度问题抽象成一个明确完整的数学模型，并指出求解方法。

3、据实际问题的要求，如果要设计好更好的调度方案，应如何采集运营数据。

二、符号约定a：上或下行第j时段第k站上车人数ijkb：上或下行第j时段第k站下车人数ijkl上或下行第j时段最大客容量ijk上或下行时第j时段平均载客量ijC日所需总车次c上或下行第j时段的车次ijs上或下行第j时段平均发车时差ijp上或下行第j时段平均载客量ijt上或下行的平均发车时间间隔ijm上或下行时公交公司日平均满意度gim上或下行时乘客整体日平均满意度cim上或下行时公交公司各时段的满意度gijm上或下行时乘客各时段的满意度cijQ 日所需车辆数1=i表示上行运动（此时14k）3,2,1=2=i表示下行运动（此时13k）=3,2,1j=3,2,118三、问题的分析本问题的难点是同时考虑到完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益等诸多因素。

如果仅考虑提高公交公司的经济效益，则只要提高公交车的满载率，运用数据分析法可方便地给出它的最佳调度方案；如果仅考虑方便乘客出行，只要增加车辆数的次数，运用统计方法同样可以方便地给出它的最佳调度方案，显然这两种方案是对立的。

于是我们将此题分成两个方面，分别考虑到：(1)公交公司的经济效益，记为公司的满意度；(2)乘客的等待时间和乘车的舒适度，记为乘客的满意度。

显然公交公司的满意度取决于每一趟车的满载率，且满载率越高，公交公司的满意度越高；乘客的满意度取决于乘客等待的时间和乘车的舒适度，而乘客等待时间取决于车辆的班次，班次越多等待时间越少，满意度越高；乘客的舒适度取决于是否超载，超载人数越少，乘客越满意。

很明显可以知道公交公司的满意度与乘客的满意度相互矛盾，所以我们需要在这两个因素中找出一个合理的匹配关系，使得双方的满意度达到最好。

四、基本假设1．交通情况、路面状况良好，无交通堵塞和车辆损坏等意外情况；2．公交车：发车间隔取整分钟，行进中公交车彼此赶不上且不超车，到达终点站后调头变为始发车；3．乘客：在每时段内到达车站的人数可看作是负指数分布，乘客乘车是按照排队的先后有序原则乘车，且不用在两辆车的间隔内等待太久；4．“人数统计表”中的数据来源准确、可信、稳定、科学；5．乘车票价为定值，不因乘车远近而改变。

五、 模型建立与求解模型Ⅰ：对问题1为设计便于操作的公交车调度方案，根据表1给出的一个工作日两个运营方向各个站上下车的乘客数量统计，假设各时段车辆平均足够载完在相等时间内到达的乘客，乘客也只能乘坐该路车而没有太大的不满，我们要设计两个起点站的发车时刻表，计算需要的车辆数，首先可建立以下各模型来求相关量。

1．相关量1)上下行各时间段内最大客容量：建立模型如下{}{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==-=∑∑==13,,12max 14,,11max 11 n i b a m i b a l n k ijk ijk m k ijk ijk ij 运用模型和表1中的上下车乘客数，算出上下行各时间段内最大客容量：上行：下行： (1)上行各时间段内最大客容量 (2)下行各时间段内最大客容量图 一2)车次数：因为座位数为100的客车满载率在50%和120%之间，即12050≤≤ij k ，在满足客车满载率和载完各时段所有乘客前提下，由模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉+=++Z l l Z l l cij ijij ij ij 120,120120,1]120[（其中Z +是正整数）∑∑===18121j ij i c C可计算每个时段的详细车次数：上行：6，25，42，23，13，10，12，10，9，8，8，18，24，8，4，4，3，4 下行：3，9，23，27，16，10，9，7，8，9，11，19，31，21，10，7，7，4 求和可得出全工作日可行的总最少车次数：462231231=+=C ，3) 安排发车时间间隔：拿每个时段60分钟除以车次数，可得出该时段平均发车时间间隔：ij ij c s /60=，依次如下：上行：10，2.4，1.4，2.6，4.6，6，5，6，6.7，7.5，7.5，3.3，2.5，7.5，15，15，20，20； 下行：20，6.7，2.6，2.2，3.8，6，6.7，8.6，7.5，6.7，5.5，3.1，1.9，2.8，6，8.6，20。

由ij s 的值有分数出现，而现实中列车、客车等时刻表的最小单位为分钟，故间隔应取整数。

当ij s 取整数时，可直接安排等时间发车ij c 次。

当某个ij s 取小数时，不妨设F [ij s ]和C [ij s ]是与ij s 相邻的两个连续整数且][][ij ij ij s C s s F ≤≤，由模型：{60][][=+⨯=+⨯ij ij ij ij ij ij ij s C n s F m c n m ，（18......2,1;2,1==j i ）可求出以F[ij s ]为间隔的班次ij m 和以C[ij s ]为间隔的班次ij n ，再分别以发车间隔为F[ij s ]和C[ij s ]，兼顾发车密度，将此时间段进行适当划分。

将上述各ij c 与ij s 值代入方程组，可相应地求出具体的发车间隔的次数ij ij n m ,，考虑到公交车调度方案的可操作性和公交公司的利益所在，在同时段线路上的车辆不宜过多，我们对结果进行了分析比较，将相邻时间段内发车间隔相等的班次尽量安排在一起，并且对高峰时期发车的先后顺序作了调整，得出了全天（一个工作日）内的公交车调度方案，见表3。

2．日所需车辆数由汽车平均速度20千米／小时和A0－A13的距离61.14千米、A13－A0的距离58.14千米，可求得车辆从起点站到终点站的时间约为44分钟；又由假设可知车辆到达终点站后立即调头往回开且不跑空车，由于早高峰乘客数最多，故此时车辆实际占用数也应是当日的上限，考虑到8：00之前从A13发出的车次每个时段都多于A0发出的车次，且最大逆差数为3819163)(3121=++=-∑=i j j c c ，即从A13多发出38辆车；8：00到9：00虽然从A0发来的车辆多于从A13发出的车辆，但从8：00到8：44仍要从A13发出的15辆车，根据假设恰在8：44时对方开来的车辆到站并调头再结合动态车辆有8辆赶不上时差。

故早高峰车辆实际占用为61辆，也即当天共需开动的车辆最少为61辆。

模型Ⅱ：很明显此问题可看作是一个排队随机服务系统，我们把汽车看作是“顾客”，将各个车站看作是“服务台”，则此公交系统可看作是一个顾客不消失的、单通道多级服务台串联的排队系统。

因此，这里所遇到的，主要是排队问题。

归纳起来，需要考虑三种活动。

a) 首站发车活动：根据发车时刻表确定；b) 到达中途站活动：在中途站主要考虑和计算上下车人数、车上的总人数和上下车时间；c) 到达终点站调头活动：在终点站根据发车时刻表确定。

我们先考上行时乘客在站的逗留时间，即k A 1站的等待时间，它包括相邻两趟车到达k A 1站的时间间隔jk q 1即发车间隔和乘客上下车的服务时间jk p 1。

因为假设每个乘客上车时间和下车时间不计，即jk p 1＝0。

可以得出jk q 1＝ic 60，jk s ＝jk p 1 故此问题可以转化为满足下列条件下的公交公司全天的总利益取最大的规划问题：1. 乘客等待时间在一般时间段不超过10分钟；2. 早高峰时间段不超过5分钟；3. 各个时间断内的最大满载率不超过120％；4. 各个时间断内的最小满载率不超过50％。

又公交公司全天的总利益为全天所有车辆运行公里数最小，因为线路长度一定，只要考虑站车次即可得出目标函数：∑==1811)min(i j c z ，+∈Z c js.t. 5601≤jc )42(≤≤j10601≤j c )4,1(>=j j %50%1001001≥⨯⨯jjc m %120%1001001≤⨯⨯j jc M利用模I 中的数据，我们可以求出各个时间段内的发车次数和间隔，因为此解法是在满足乘客的情况下求的最小解，所以乘客等待时间的满意度为100％，但是从舒适度考虑，上下行分别有11和9人不满意，所以乘客总满意度为86.1％，公交公司满意度为（109+111）/240×100％＝91.7％，按模型Ⅰ方法考虑，此时结果为50-0474次。

模型Ⅲ:1．前期工作1）满意度的层次分析根据问题分析，我们在设计两个起点站的发车时刻表时，应着重考虑到此时刻表带给公交公司和乘客两者的利益，即公交公司和乘客对应的日平均满意度gi m 与ci m ，各时段的满意度gij m 和cij m 。