n
３ 三维医学图象的小波变换编码
随着三维医学图象的发展 码显得越来越重要 理分析所需的信息 高的压缩比 对图象的压缩编
长度具有最好的计算性能
n-1
对实的数据 FFT（或
n-1
IFFT）需要 2 (n-3)+2 次实乘法 2 加法
(3n-5)+4 次实
好的编码方案应该保留对物 由于无失真编码不能达到很 本文讨论用 其中对 在每个尺
3
= H 0 ( z 2 ) x 0 ( z 2 ) + z 2 H 1 ( z 2 ) x1 ( z 2 ) + 奇项
选取出偶项即是 Y(z)
Y ( z ) = H 0 ( z ) x 0 ( z ) + z 1 H 1 ( z ) x1 ( x)
经过重新组织 H 0 ( z) H 1 ( z) 输出 Y (z) 可以这样得到
当代科学工作者继傅立叶变换之后的又一重大发 它是法国科学家 Morlet 于 1980 年首创的 随 发展了小波变 其基础是仿射群( 即平移与伸缩 ) 下 后经过许多科学家近 20 年的研究 换的几何体系
１ 小波变换的基本原理
对于函数ψ ( x ) ∈ L2 ( R ) 当且仅当其傅氏变换
的不变性. 这使我们能够将一个信号分解成对空间 及尺度的贡 献.在这种意义下小波分析又可称为多 分辨率分析 史上的里程碑 来的工作之结晶 在信号分析 等领域 突破 这一发现无论是对数学还是工程应 堪称是傅立叶分析发展 它被认为是调和 特别是 在数学家眼中 用都产生了深远的影响
FFT(H0) X FFTN FFT(G0) X B FFT(H1)
这里用图 2 来示意上述处理过程
相比 该过程使用了四个长度为 L/2 的滤波器 它
x0(z) H0(z)
+
G0(z)
至下一 Cell
B/2
+
IFFTN
下一 Cell
x(z) H1(z)
X
FFTN B/2
+
FFT(G1) X
都可以用 因而受到越
有人预言小波分
析是对传统傅立叶分析的严重挑战
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收稿日期 作者简介 2000-12-08 王立涛 1964男 副教授 本文编校
王慧兰
第 3 期 王立涛等
基于小波变换的图象处理技术 换的算法结构谈起 并讨论相应的快速算法
对于多维信号的可分离小波变换可以用一维 小波变换来实现 象的每一方向 多数三维图象可以认为是以时 对三维医学图 间为第三个坐标的二维图象序列
x ,y ,z 使用一维 WT 在每一方向
第 3 期 王立涛等 使用同一个 WT 我们已经知道 时 理 在每个分解层 对应于平滑版本 个子图象
第 20 卷 第 3 期 辽宁工程技术大学学报 自然科学版 2001 年 ６ 月 Vol.20, No.3 Journal of Liaoning Technical University (Natural Science) Jun., 2001
文章编号 1008-0562(2001)03-0344-04
基于小波变换的图象处理技术
王立涛 1 ，丁 勇 2
1. 辽宁工程技术大学 机械工程学院 , 辽宁 阜新 123000 2. 铁岭华晨橡塑制品有限公司,辽宁 铁岭 112000
摘 要： 小波变换是新近发展起来的一门技术 已广泛应用于信号处理 图象处理 量子场论 地震勘探 话音识别与合成 音乐
345
&&( x ) = ψ ( x ) ψ s( x ) = ψ 又令 ψ
则 １ 式可改写为
1 s
(
x ) s
２．１ 离散小波变换的算法结构 离散小波变换 是小波变换的单元 为是低通滤波器 G DWT Cell 实际上可以用图 示意图 H 的
&& s ( x) ２ f ( s , x ) = f ( x) • ψ ２ 式说明 小波变换可以看成是原始信号 和一组不同尺度的小波带通滤波器的滤波运算 从而可将信号分解到一系列频带上进行分析处 理
ˆ(ω ) 满足小波相容性条件 ψ
∫
本小波函数 数ψ ( x )
∞ −∞
ˆ ψ ω
2
dω = cψ < ∞
时 我们就称函数ψ ( x ) 为相容小波函数 也称基 这里我们假设已知一个相容小波函 且其尺度 则对任意函数 f ( x ) ∈ L2 ( R )
分析即现代傅立叶分析这一重要学科半个世纪以 在其它科学技术领域 图象分析 量子物理和非线性科学 空 频域局部 它不仅可以 尺度内 以任 也就
x( z ) = x0 ( z 2 ) + z −1 x1 ( z 2 ) −n x0 ( z ) = ∑ x( 2n) z n −n x1( z ) = ∑ x(2n + 1) z n
类似地 把滤波器 H 个单元的输出 Y (z)可以表示成
+ z 1 x1 ( z 2 ))
例证了小波变换在图象处理技术中的实用价值
关键词 中图号
算法
图象处理
ＴＰ ３９１．４１
文献标识码 Ａ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
０ 引 言
近年来 人们在探求更快捷 方便的变换技 来越多的科学工作者和工程技术人员的普遍关注 和高度重视
术方面倾注了相当大的精力 现
小波分析技术就是
[1] 徐佩霞 孙功宪． 小波分析与应用实例［M］．北京 １９９６． 中国科学技术
对于三维可分离小波变换
每层分解产生八 另外七个 每个 其
其中一个对应于平滑版本 H
对应于细节版本 L
假定原始图象为尺度 2 0
滤波器把信号分解成高频分量
和低频分量
则第一次分解产生的平滑版本为 LLL－１
它 细 节 版 本 为 LLH－１， LHL－１， LHH－１， HLL－１， HLH－１， HHL－１ 和 HHH－１ 然后就可以用 LLL－１ 进 行进一步的分解 同样 对于有限长信号处理的边界问题 可 以通过边界延拓来解决 为了进行三维医学图象有效的编码 我们舍 弃第一层分解的 LHH，HLH ，HHL ，HHH 对 应的细节版本 只对 LLH，LHL ，HLL 对应的细节 第二层平滑 版本进行 DCT 编码 然后对第一层分解得到的平 滑版本进一步分解得到第二层分解 版 本 进 行 DCT 编 码 而对细节版本分三组
小波级数展开和离散小波变换 由于离散小波变换可以完全特征化原信 所以 我们说离散小波变换在图 给定一组
号的离散信息 正交归一基函数
处理和分析中是最有作为的 因此
∑x
n
( n)
z − n 则有
我们就可以像做任何酉变换那 这里我们从小波变
至下一 Ｃｅｌｌ
样计算离散小波变换
自前一 Ｃｅｌｌ
−1
4 首
G 也分成奇偶项 进入下一
先偶项 x 0 ( z ) 和奇项 z x1 ( z ) 作位输入分别作用于 然后二者输出相加得到
H ( z ) X ( z ) = ( H 0 ( z 2 ) + z 1 H 1 ( z 2 ))( x 0 ( z 2 )
346 辽宁工程技术大学学报 自然科学版 第 19 卷 对于 H ( z ) 使用 H 0 ( z ) H1 ( z ) 同样可以处理 与图 1 a 们的系数是由 H(z) G(z)经减抽样得到的 ２．２ 基于 ＦＦＴ 的 ＤＷＴ 算法
如果分析满足一定的约束条件 和平移进行组合得到 为多分辨率分析 尺度上的细节版本 器的回归作用得到
n 2 n +1 + 8 乘法／点／Ｃｅｌｌ 2 n +1 ( L - 2) (3n 1)2 n +1 + 16 加法／点／Ｃｅｌｌ 2 N +1 ( L - 2)
当给定长度 L 时 存在最佳ห้องสมุดไป่ตู้ Ｂ＝２Ｎ－（Ｌ－２） 当 N = 2 n 时上式最小
IFFTN DWT
+
z x1(z)
-1
G1(z)
输出 DWT 系数 图 3 基于 FFT 的方案示意图 Fig.3 the program sketch map based on FFT
图 ２ ＤＷＴ 的重新组织 Fig.2 the re-organization of DWT
文中用这种方法来计算图 ２ 中滤波器的作用 过程 整个算法原理如图 ３ 所示 基于-2FFT 对 N=2
抽样就是小波系数 示意图
图 １（ｂ）是小波反变换的单元 && 前一个单元的输出经增抽样送入 H
(Z )
为了减少总的运算复杂度 独出现的 分析工具 输入 x ( z ) =
需要减少每个单 隔二取一
元的运算 注意到图 1(a)中两个 FIR 滤波器不是单 而是紧接着减抽样因子 可以把输入分为奇项和偶项序列 使用 z 变换作为
G(Z) H(Z)
,, G (Z )
+
•• H (Z )
DWT Cell 至下一 Cell (a)
IDWT Cell 自前一 Cell (b)
图 1 小波变换算法结构示意图 Fig.1 the sketch map for the algorithm structure of wavelet transformation
雷达 CT 成相 机器视觉 机械故障诊断与监控以及数字电视等科技领域 .又由于它具有时域和频域具有良好的局部化性能 对小波变换的原理及离散小波变换算法结构进行了研究 因而在 图象压缩编码中得到普遍应用.本文就是在此前提下 象处理的基本思路 提出小波理论应用于图
并通过对三维医学图象有效编码的具体描述 小波分析 小波变换
基于小波变换的图象处理技术