二维连续小波定义
2 2 f ( x , x ) L ( R ) 表示一个二维信号，x x 分别 1 2 令 1、 2 是其横坐标和纵坐标。 ( x1 , x2 ) 表示二维基本小波，
二维连续小波定义：
令 a;b1 ,b2 ( x1 , x2 )表示 ( x1 , x2 )的尺度伸缩和二维位移 1 x1 b1 x2 b2 a;b1 ,b2 ( x1 , x2 ) ( , ) a a a
二维小波变换
则二维连续小波变换为：
式中因子 是为了保证小波伸缩前后其能量不 变而引入的归一因子。
二维多分辨率小波算法
由Mallat提出的二维多分辨率小波算法（Mallat 算法）在图像处理中已到了广泛的应用。
那么什么是Mallat算法？ 马拉特算法：小波变换的多分辨率分析(或多尺度分 析)是建立在函数概念上的理论，多分辨率分析概念 是由 S.Mallat和 Y.Meyer 在前人大量工作的基础上 于1986年提出的，从空间的概念上形象的说明了小波 的多分辨率特性，随着尺度由大到小变化，在各尺度 上可以由粗到细的观察图像的不同特征。在大尺度时 ，观察到图像的轮廓，在小尺度的空间里，则可以观 察图像的细节。
为什么用二维小波变换
从数学角度看， 图像是一个亮度值的 二维矩阵，像边界和 对比强烈区域那样的 突变特性的不同组合 会产生统计值的局部 变化。如图所示，在 同一图像的不同部分， 即使是一阶统计值也 会大不相同，因此无 法对整个图像定义一 个简单的统计模型。
二维小波变换
图像的自身的特点决定了我们在将小波变换应用到 图像处理中时，必须把小波变换从一维推广到二维。
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二维小波变换 与图像处理
控制科学与工程 S13040456 杨永维
内容结构
小波变换的简单阐述
为什么用二维小波变换
二维小波变换 二维多分辨率小波算法
小波变换的简单阐述
小波变换是近年来得到广泛应用的数学工具，与傅立
叶变换、窗口傅立叶变换相比,它是时间( 空间)和频率的
局域变换,在低频段采用长时间窗, 在高频段采用短时间窗, 将原始信号分解为一系列具有不同频率特性的子带信号,获 得的子带信号具有良好的时域与频域空间局部特征,这些特 征可用来表示原始信号的局部特征,因此,小波变换被誉为 “数学显微镜”。
即原始图像经J级分解后的低频分量。其他3幅子图像 代表相应的高频细节分量。
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二维多分辨率小波算法
假设二维空间 分解成2个一维空间 和 是可分离的，即它可以 的张量乘积。在
可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行，首先沿 方向分别用尺度函数 或小波函数
与
作内积运算, 从而将
分解成
平滑逼近和细节函数这2个部分; 然后对这2个部分再
沿
方向分别与尺度函数
或小波函数
作内运算。上述计算结果中：
为什么用二维小波变换
当观察图像时通常看到的是相连接的纹理与灰度
级相似的区域它们相结合形成物体。
如果物体尺寸很小或对比度不高，通常采用很高 的分辨率来观察；如果物体的尺寸很大或对比很强， 则只需较低的分辨率。如果尺寸有大有小，或对比有 强有弱的情况同时存在，以若干分辨率对它们进行研
究将具有明显的优势。
方向的低频分量； 分量和垂直方向的高频分量；
方向的高频分量和垂直方向的低频分量；
二维多分辨率小波算法
反映水平方向和垂直方向的高频分量
(即对角分量)。若选取 ,则初始分解信号就是 。按照
原始的数字图像信号
上图的网络结构，分解过程需要进行J级。第J级分解 所得的4幅子图像的尺寸将均为原始图像尺寸的 子图像 代表原始图像的第J级离散逼近, 。
二维多分辨率小波算法
为 的第j级平滑逼近； 和 为组的概念,可得如 图所示的图像，可分离多分辨率分解的网络结构。
二维多分辨率小波算法
图中 和 分别称为分解低通滤波器和分解高
和 分别代表沿水平和垂
通滤波器；符号
直方向的，以 2为抽取因子的抽取操作； 代表数字图像 近； 经第j-1级分解所得的离散逼 代表经第j级分解所得的水平和垂直 反映水平方向的低频 反映水平