在二维多分辨率分析中仍然存在如下关系： V j 1 ( x1 , x2 ) = V j ( x1 , x2 ) ⊕ W j ( x1 , x2 ) W j ( x1 , x2 ) = V j 1 ( x1 , x2 ) / V j ( x1 , x2 ) 其中，W j ( x1 , x2 )仅是补子空间 同样，我们讨论下式中 Pj 1 f ( x1 , x2 ) = Pj f ( x1 , x2 ) + D j f ( x1 , x2 ) Pj f ( x1 , x2 )和D j f ( x1 , x2 )的展开形式。
可分离分解滤波器组结构
当做j级分析时有
A j f ( x1 , x2 ) =< f ( x1 , x2 ), φ jk1 ( x1 )φ jk 2 ( x2 ) > D f ( x1 , x2 ) =< f ( x1 , x2 ), φ jk1 ( x1 )ψ jk 2 ( x2 ) >
(1) j
所以，在用 V j 1 ( x1 , x2 ) = V j 1 ( x1 ) V j 1 ( x2 ) P 这种张量表示的情况下， j 1 f ( x1 , x2 ) ∈ V j 1 ( x1 , x2 ) 也可以相应地分解为V j ( x1 , x2 )中的分量和 W j ( x1 , x2 ) 中的三个部分分量，具体表示为：
假设二维空间 V j ( x1 , x2 )是可分离的，即它可 以分解成两个一维空间 V j ( x1 )和V j ( x2 ) 的张量 乘积，可得 V j 1 ( x1 , x2 ) = V j 1 ( x1 ) V j 1 ( x2 )
= [V j ( x1 ) ⊕ W j ( x1 )] [V j ( x2 ) ⊕ W j ( x2 )] = [V j ( x1 ) V j ( x2 )] ⊕ [V j ( x1 ) W j ( x2 )] ⊕ [W j ( x1 ) V j ( x2 )] ⊕ [W j ( x1 ) W j ( x2 )]
在一维多分辨率中各子空间的基函数表现 形式可知 V j ( x1 , x2 ) = V j ( x1 ) ⊕ V j ( x2 )的正交归一基为：
φ jk ( x1 )φ jk ( x2 ) = 2 φ (2 j x1 k1 )2 φ (2 j x2 k 2 )
1 2
j 2
j 2
式中φ jk1 ( x1 )和φ jk 2 ( x2 )都是低通的尺度函数，因此 V j ( x1 , x2 )是平滑逼近的低通空间。
D (j 2) f ( x1 , x2 ) =< f ( x1 , x2 ),ψ jk1 ( x1 )φ jk 2 ( x2 ) > D (j3) f ( x1 , x2 ) =< f ( x1 , x2 ),ψ jk1 ( x1 )ψ jk 2 ( x2 ) >
可分离分解滤波器组结构
一级分解各分量示意图
在一维多分辨率分析中， V j 1 ( x) = V j ( x) ⊕ W j ( x)，W j ( x) = V j 1 ( x) / V j ( x)
( Pj 1 f ( x) = Pj f ( x) + D j f ( x) = ∑ xk j )φ jk (t ) + ∑ d k( j )ψ jk (t )
f ( x1 , x2 ) ∈ L2 ( R 2 ) 表示一个二维信号，x
二维连续小波定义
则二维连续小波变换为：
WT f (a; b1 , b2 ) =< f ( x1 , x2 ),ψ a ;b1 ,b2 ( x1 , x2 ) > 1 x1 b1 x2 b2 = ∫∫ f ( x1 , x2 ) ( ψ , )dx1dx2 a a a
( j) k1k 2
6.3 图像的多分辨率分解和合成
上节分析结果说明，在可分离的情况下，二 维多分辨率可分两步进行。 首先沿x1方向分别用φ ( x1 )和ψ ( x1 )做分析，把 f ( x1 , x2 ) 分解成平滑逼近和细节这两部分。 然后对这两部分再沿x2方向分别用φ ( x2 )和ψ ( x2 ) 做类似分析。 ) 四路中，经φ ( x1 )φ ( x2 处理所得得一路是 f ( x1 , x2 ) 的第一级平滑逼近 A1 f ( x1 , x2 )，其余三路为细节 函数。
j
∫ f ( x)ψ [ A
R2
j 0
x n]d x
∫∫
( ( f ( x1 , x2 ) ψ [a 11j ) x1 + a 12j ) x2 n1 ,
a (21j ) x1 + a (22j ) x2 n2 ]dx1dx2
6.2 二维多分辨率分析及小波子 空间分析
首先，回顾一位多分辨率分析的概念和相 关知识。然后推广到二维中去。
1 2
j 2
j 2
第三部分W j ( x1 ) W j ( x2 )，它的正交归一基是：
ψ jk ( x1 )ψ jk ( x1 ) = 2 ψ (2 j x1 k1 )2 ψ (2 j x2 k 2 )
1 2
j 2
j 2
这三部分的正交归一基 中都至少含有一个带通 的ψ ( x1 ) 或ψ ( x2 )，所以它们都是带通的 ，即它们反映的是高通 细节。
第六章 二维小波变 换与图像处理
二维信号也称图像信号。为了避免引进第 二维之后问题的复杂性，我们可以把图像 信号分解成沿行和列的一维问题来处理。
本章内容结构 二维小波变换 二维多分辨率分析及小波子空 间分析 图像的多分辨率分解和合成
6.1 二维小波变换
图像的自身的特点决定了我们在将小波变 换应用到图像处理中时，必须把小波变换 从一维推广到二维。
其中，V j的基函数是{ jk (t )}k∈Z ，W j的基函数是{ jk (t )}k∈Z φ ψ
k
k
如果φ ( x)是标准正交尺度函数，则
( xk j ) =< Pj f ( x), φ jk ( x) >=< f ( x), φ jk ( x) >
d k( j ) =< D j f ( x),ψ jk ( x) >=< f ( x),ψ jk ( x) >
图像可分离二维多分辨率的三级 分解
可分离重建滤波器组结构
二维离散小波函数介绍
分解函数
dw2 wavedec2 单尺度二维离散小波 变换 多尺度二维小波分解 （二维多分辨率分析 函数） 允许的最大尺度分解
同样可以得：
W j 1 ( x1 , x2 ) = [V j ( x1 ) W j ( x2 )] ⊕ [W j ( x1 ) V j ( x2 )] ⊕ [W j ( x1 ) W j ( x2 )] 由上式可知：补空间W j 1 ( x1 , x2 )由三个部分组成： 第一部分V j ( x1 ) W j ( x2 )，它的正交归一基是：
式中：a = det A, x = [ x1 , x2 ] , b = [b1 , b2 ]
T
T
二维小波变换的特点
1 ( x1 b1 ) cos θ ( x2 b2 ) sin θ WT f (a, θ ; b1 , b2 ) = ∫∫ f ( x1 , x2 ) ( , ψ a a ( x1 b1 ) sin θ + ( x2 b2 ) cos θ )dx1dx2 a
k1k 2 k1k 2
二维空间的子空间分解关系
同样，在二维多分辨率分析中，子空间的 分解关系同于一维情形，即：
V j1 ( x1 , x2 ) = V j ( x1 , x2 ) W j ( x1 , x2 ), j ∈ Z L2 ( R) = ⊕ W j ( x1 , x2 )
V 只有给定 φ ( x1 , x2 ) 是正交尺度函数时， j ( x1 , x2 ) W 中的基函数， j ( x1 , x2 ) 中三个部分表示的基 函数才是关于平移和尺度正交的。
可分离情况下的多分辨率分解
当做一级分析时（j=1）有
A1 f ( x1 , x2 ) =< f ( x1 , x2 ), φ1k1 ( x1 )φ1k2 ( x2 ) > D1(1) f ( x1 , x2 ) =< f ( x1 , x2 ), φ1k1 ( x1 )ψ 1k 2 ( x2 ) > D1( 2) f ( x1 , x2 ) =< f ( x1 , x2 ),ψ 1k1 ( x1 )φ1k2 ( x2 ) > D1(3) f ( x1 , x2 ) =< f ( x1 , x2 ),ψ 1k1 ( x1 )ψ 1k 2 ( x2 ) >
1 2
二维连续小波的一般表示形式
A = arθ
二维连续小波可以更一般的表示为
WT f (a, b) =< f ( x),ψ
A ,b
( x) >
1 1 1 1 x b 式中ψ ( x) = ψ [ A ( x b)] = ψ (rθ ( )) A ,b A a a 1 1 x b 所以WT f (a, b) =< f ( x),ψ ( x) >= ∫ f ( x) (rθ ( ψ ))d x A ,b a R2 a
j 2 j 2
φ jk ( x1 )ψ jk ( x1 ) = 2 φ (2 j x1 k1 )2 ψ (2 j x2 k 2 )
1 2
第二部分W j ( x1 ) V j ( x2 )，它的正交归一基是：
ψ jk ( x1 )φ jk ( x1 ) = 2 ψ (2 j x1 k1 )2 φ (2 j x2 k 2 )
j∈Z
在这种正交基的情况下，我们把系数表示 为：x ( j ) =< f ( x , x ), φ ( x )φ ( x ) >