第三章三角恒等变换§3．1和角公式3．1．1两角和与差的余弦课时目标1．会用向量的数量积推导两角差的余弦公式．2．能利用两角和与差的余弦公式进行三角函数式的化简和求值．1．两角差的余弦公式：Cα－β：cos(α－β)＝________________________________________________________．2．两角和的余弦公式：在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即：cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝________________________________________________＝________________________________________________________________________．一、选择题1．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°等于( )A ．－12B ．12C ．0D ．12．化简cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α得( ) A ．cos αB ．cos βC ．cos (2α＋β)D ．sin (2α＋β)3．化简cos (45°－α)cos (α＋15°)－sin (45°－α)sin (α＋15°)得( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32 4．若cos (α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π65．若sin (π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos (θ－φ)的值是( )A ．－55B ．55C ．11525D ． 56．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12， 则cos (α－β)的值为( ) A ．12B ．－32C ．34D ．1二、填空题7．若cos (α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________．8．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝12，则tan αtan β＝________．9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos (α－β)的值是________．10．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________．三、解答题11．已知tan α＝43，cos (α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．12．已知cos (α－β)＝－45，sin (α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．能力提升13．已知cos (α－β2)＝－19，sin (α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos α＋β2的值．14．已知α、β、γ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值． 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．第三章 三角恒等变换 §3．1 和角公式3．1．1 两角和与差的余弦答案知识梳理1．cos αcos β＋sin αsin β 2．cos αcos (－β)＋sin α·sin (－β) cos αcos β－sin αsin β 作业设计 1．C 2．B3．A [原式＝cos (α－45°)cos (α＋15°)＋sin (α－45°)sin (α＋15°)＝cos [(α－45°)－(α＋15°)]＝cos (－60°)＝12．]4．C [sin (α－β)＝－255(－π2<α－β<0)．sin 2α＝31010， ∴cos (α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)＝1010×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4．]5．B [∵sin (π＋θ)＝－35，∴sin θ＝35，∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－45．∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， ∵φ是第三象限角，∴sin φ＝－55．∴cos (θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＝55．] 6．B [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝1－32①cos α＋cos β＝12 ②①2＋②2⇒cos (α－β)＝－32．] 7．83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos (α－β)＝83．8．15解析 由⎩⎪⎨⎪⎧cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α sin β＝112cos αcos β＝512，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝15．9．－12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos (α－β)＝－12．10．－π4解析 ∵α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝255，sin β＝31010，∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0．∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22，∴α－β＝－π4．11．解 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝43，∴sin α＝437，cos α＝17．∵α＋β∈(0，π)，cos (α＋β)＝－1114，∴sin (α＋β)＝5314．∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12． 12．解 ∵π2<α－β<π，cos (α－β)＝－45，∴sin (α－β)＝35．∵32π<α＋β<2π，sin (α＋β)＝－35， ∴cos (α＋β)＝45．∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β) ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1． ∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2． 13．解 ∵π2<α<π，∴π4<α2<π2．∵0<β<π2，∴－π2<－β<0，－π4<－β2<0．∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2．又cos (α－β2)＝－19<0，sin (α2－β)＝23>0，∴π2<α－β2<π，0<α2－β<π2． ∴sin (α－β2)＝1－cos 2(α－β2)＝459．cos (α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝53．∴cos α＋β2＝cos [(α－β2)－(α2－β)]＝cos (α－β2)cos (α2－β)＋sin (α－β2)sin (α2－β)＝(－19)×53＋459×23＝7527．14．解 由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β．平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1．∴－2cos (β－α)＝－1，∴cos (β－α)＝12，∴β－α＝±π3．∵sin γ＝sin β－sin α>0， ∴β>α，∴β－α＝π3．。