θ = 2π −Θ
2m 得:Θ = ⋅ 2π 2m + M
8
4.一圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴00’以角 速ω沿顺时针方向转动。（1）在同一水平直线上，以 反方向同时射入两颗质量相同、速率相等的子弹并留在 盘中，如图2—1(a)所示。子弹射入盘后盘的角速度如 (2)两大小相等，方向相反但不在同一直线上 何变化? 的力沿盘面作用在盘上，如图2—1(b)所示，盘的角速度 如何变化? (1)M Z = 0,
习题课（二） 刚体
1
总结类比
质点(一维）
V, a
刚体（定轴） ω， β
J = ∑ ri2 ∆m i J = r 2dm
m P = mv
d F = P＝ma dt
F =0 P = 恒量
F
L = Jω M
d M = L＝Jβ dt
∫
M=0
L = 恒量
2
AAB
r r = ∫ F ⋅ dr
B A
AAB = ∫ M ⋅ dθ
的轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只 能对某一个轴进行计算。
11
正确解: 两柱接触时摩擦力力矩带动每个轮转 动，磨擦力大小相等、方向相反
ω1，ω2方向相反
对两圆柱各自的转轴分别应用角动量定理:
− ∫ R1 fdt = J1 (ω1 − ω10 )
t1 t0
∫
t1 t0
2 R 2 f’dt= J 2ω 2− J （ ω 20)
24
5.
一飞轮的转动惯量J
kg ⋅ m 2
在t=0时，角速度ω= 30 rad /s，此 后飞轮经过制动过程阻力矩M=-Kω2。 其中K=0.025
，
求：(1) 飞轮的角速度ω=10 rad/s时， 飞轮的角加速度β。 (2) 从制动开始到ω=10 rad/s所经 历的时间。
25
计算5
解:
(1)由转动定律
O A
ω0
a
R B
b c
O′
23
计算4
解: 球与环组成的系统对轴oo’角动量守
a→b: a→c:
J 0ω 0 = J ω + mR ω
2
0 b
b
J 0ω 0 = J 0ω c
;
o a
R
.
vc c 下滑过程中,小球,环,地球为系统机械能守恒. o' 机械能守恒 a→b: 1 J ω 2 + mgR = 1 J ω 2 + 1 mv2 + 1 mR2ω 2 0 0 0 b b 2 2 2 2
J Aω
0
= (J
A
+ J B )ω ′
1 ∴ω′ = ω0 2 过程二：A与B盘在粘一起同步转动后角速度上下表 ω 面受空气阻力矩作用： ′→ 0 转过的角 0 → θ
21
半径为r (r<R) 宽度为dr的环带元上的摩擦力
df = f 0 2πrdr
产生的阻力矩元
f 0 = − Kv = − Kr ω
t 0
球体先到底端. 球体先到底端
1 2 1 2 摩擦力功 A f = mg ∆ hc − J c ω − mv c 2 2 1 1 2 无滑动地滚 机械能守恒 mg ∆ hc = J c ω + mv c2 13 2 2
7．长为l的均匀直棒，质量为m1，上 m1 端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今 有质量为m2的子弹，以水平速度v0射 d l 入棒内，入射点到轴的距离为d，并 留在棒内。问(1)以子弹和直棒为系 v0 统，在子弹射入直棒的过程中动量是 m2 否守恒? 答：轴对系统有作用力，动量不守恒 (除d=2L/3) (2)轴所受到的作用力是沿水平方向还是沿竖直方 向? 此力可能为零吗? 答：轴受到系统垂直向下的拉力(重力)和与沿子弹运动 的水平方向的冲力.合力方向为斜前下方.力不可能为零. (3)子弹射入过程什么物理量守恒? 答：系统对轴角动量守恒
LZ = Jω = J 'ω' J ' > J ⇒ ω' < ω
dω ( 2) M Z = J >0 dt
dω > 0 ⇒ω ↑ dt
9
5. 质量分别为m1、m2,半径分别为R1 原来它们沿同一转向分别以
、R2的两均匀圆柱,
可分别绕它们本身的轴转动,二轴平行。
ω10，ω20的角速度匀速转动,然
后平移二轴使它们的边缘相接 如图所示. 求最后在接触处无相对滑动时, 每个圆柱的角速度ω1，ω2。
B
R
A C
37 0
16
解(1)受力分析如图, 取弹簧为原长时物体A位置为原点 当A下滑x时，有
T 1′ T2′
T 2 = kx
r a
A
T1
r a
x
N T A 1 α mg
T1
R B
T2
G1
k
C
(T1 − T2 )R = Jβ
联立求解,得:
mgsinα − T1 = ma
a = Rβ
2
a = 2 .4 − 4 x (m/s )
18
a = 2.4 − 4 x
dv 由 a = v = 2.4 − 4 x dx
分离变量 后积分得
1 2 v = 2 .4 x − 2 x 2 2 ＝ 所以 x = 0.6时 vmax v(0.6) = 1.2(m/s)
（2）设A由静止释放沿斜面下滑的最大距离为S
机械能守恒
1 kS 2 − mgS sin α = 0 2
2
M = Jβ
M = − Kω
= Jβ
2
K β = − ω J
( 2)
− Kω
2
dω = J dt
10 = − 3
rad
ω
s2
Jd ω ∫ω 0 − Kω 2 =
∫
θ1
1 1 2 M Z d θ = J ω 2 − J ω 12 = ∆ E k 2 2
只有保守力力矩做功时
∆E = ∆E K + ∆E P = 0 机械能守恒
4
基本概念与基本原理讨论题
1．当两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，下列 r r 说法正确吗? M = rF sinα F = ∑ Fi
mω0 N = 4Kπ 2R
2
22
4. 空心圆环B可绕竖直轴OO’ 自由转动其转动惯量为J0，环 的半径为R，初角速度为ω0。 一质量为m的小球A原来静止于 环内a点，由于微小扰动，小 球沿圆环内壁无摩擦地向下滑 动。问小球滑到环内壁b点与c 点时，环的角速率与小球相对 于环的速率各为多少？ 的速率各为多少
3
刚体定轴转动的物理规律 《训练》P17
J = ri2 m i ∑
J = ∫ r 2 dm
∫
t
t0
MZ dt = ∫ dLZ = Jω − (Jω)0
LZ LZ 0
dω d MZ = J = LZ ; LZ = Jω dt dt
转动定律
A=
当MZ = 0时 LZ = Jω = 常量 角动量守恒定
θ2
求A、B粘在一起后能转多少圈？
思 路
Mr →(ω ⇒ 0)
1 J B = ( mR 2 ) 2
Mr = Jβ
dω β =ω ⇒ω ~ θ dθ
θ ⇒ N = 2π 20
解
过程一：A下落与B粘合, A和B接触面间的“切向 应力矩”远大于空气阻力矩，以A和B为系统对定 ω 轴的角动量守恒. 角动量守恒 设：A与B盘在一起转动时的角速度 ω ′ J A = J B = J = (mR 2 )
2mR 2 3
θ
+ mR 2
纯滚动时 v c = Rω v c 1 < v c 2
= J1 > J 2
2mR 2 5
+ mR 2
β1 < β 2
M 重力1 = mgR sin θ = J 1 β 1 M 重力2 = mgR sin θ = J 2 β 2
∫
ω
0
dω =
∫ β dt ⇒ ω = β t
14
(刚体+质点)综合
计算题
难点： 当系统中既有刚体又有质点时，如何正 确掌握应用有关定理、守恒定律解决此类 综合性力学问题的方法。
15
计算1物体A质量为m=2.0 kg用细绳 跨过滑轮B与弹簧C相连接。已知弹 簧的劲度系数k=20 N/m，滑轮半径 R=0.5m，绕O轴的转动惯量J =0.75，细绳与滑轮间不打滑，A与 斜面之间及滑轮转轴处摩擦不计， 斜面之间及滑轮转轴处摩擦不计 固定斜面的倾角为，弹簧C处于原 长时, A静止在斜面上. 求：（1）A在斜面上任意位置处的 加速度； （2）A下滑的最大速率； （3）A从静止开始释放后能沿斜面 下滑的最大距离。
17
B
R
又解(能量微分法):
机械能守恒 A下滑x时:
A C
37 0
1 2 1 1 2 kx + mv + Jω 2 = mgx sin α 2 2 2
对t求导,整理得: kx + ( m + J R 2 )a = mg sin α
可得 :
a = 2 .4 − 4 x
m s2
当A的速率最大时
a=0
x = 0.6
得 S =1.2m
19
1 3． 两个上下水平放置的相同均匀薄 J A = ( mR 2 ) 2 圆盘A与B，盘半径为R，质量为m，两 O ω0 盘的中心都在同一竖直轴OO’上，B盘 A 与轴固定，A盘与轴不固定。先使A盘 R 转动，B盘静止，然后，让A盘轻轻下 落到B盘上，并与B盘粘在一起共同转 动，如图所示。已知A盘将要落在B盘 B 上时的角速度为ω0，并假设空气对 表面任意点附近单位面积上的摩擦力f 0 = − Kv ，轴间的摩擦力忽略不计。 O′