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2. 一个半径为R的水平圆盘转台,可绕通过其中心的 竖直固定光滑轴转动,转动惯量为J,开始时转台以匀 角速度0转动,此时有一个质量为m的人站在转台中 心,随后此人沿半径方向向外跑去,当人到达转台边 缘时转台的角速度为[ ]
(A)
J
J mR2
0
(B)
(J
J m)R2
0
(C)
J mR2
O
解：这个问题可分为三个阶段
进行分析。第一阶段是棒自由
摆落的过程。对棒＋地球：除
C
重力外，其余内力与外力都不
作功，所以机械能守恒。
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取棒在竖直位置时质心所在处为重力势能零点，用
表示棒这时的角速度，则
mg l 1 J 2＝1 1 ml 2 2
22
23
（1）
第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，产生的冲力 极大，物体所受地面的摩擦力可以忽略。对棒＋物体， 系统所受的对转轴O的合外力矩为零，故系统对轴O 的角动量守恒。用v表示物体碰撞后的速度，则
过多少时间才停止转动？
d r R
e
dr
解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与
桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分
成许多环形质元，每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力
矩是rdmg 。此处e是盘的厚度。
习题课
（刚体的转动）
课件公共邮箱：physics-fanghm@
密
码：0901－06
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第五章 刚体的转动 总结
1、描述刚体转动的物理量
角位移 角速度
d
d
dt
角加速度 d
dt
与线量的关系
v r
a r
an
v2 r
r 2
2、刚体定轴转动定律
M J J d (Fv mav m dvv)
mgh 1 1 ml 2 2
23 把式（5）代入上式，所求结果为
h l 3s 6sl
2
（6）
12
补充2 一质量为m，半径为R，高h = R的圆柱体，可绕oo’轴线
转动。在圆柱体侧面上开有一与水平成 =450角的螺旋槽，放
一质量也为m的小球于槽中。开始时小球由静止从圆柱顶端A受
重力作用滑下，圆柱体同时发生转动。设各摩擦均不计，试求
0
(D) 0
6
3. 光滑的水平桌面上有一长为2L,质量为m的匀质细 杆,可绕过杆的中点并且垂直于杆的竖直光滑固定轴 自由转动,起初杆静止,两个质量均为m的小球各自沿 桌面正对这杆的一端在垂直于杆长的方向上以相同 的速率v相向运动,当两个小球同时与杆的两端发生 完全非弹性碰撞后就与杆粘在一起转动,则这一系统 碰撞后的转动角速度为[ ]
(A) 2v/3L (B) 4v/5L (C) 6v/7L (D) 2v/7L
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4向. ）一,刚设体此以时每刚分体钟上6一0圈点绕的z位轴置匀矢速为转动r（
沿z轴 正方
3i 4 j 5k ,
单位为10-2m ,若以10-2m/s为速度单位,则此时刻P点速
度为[ ]
(A) v 94.2i 125.6 j 157.0k
mgh 1 J 2 1 m(u cos R )2 1 m(u sin )2 R
2
2
2
将J 1 mR 2和h R代 入 解 得 2g , u 3gR
2
3R
B
o
m
X
u
13
补充3 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的
水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初 以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经
0 v2 2as
（4）
由上述四式联合求解，即得
3gl 3 2gs
l
（5）
11
当′取正值时棒向左摆，其条件为
3gl 3 2gs 0 ，亦即l > 6 s；
当′取负值时棒向右摆，其条件为
3gl 3 2gs 0，亦即l < 6 s
棒的质心C上升的最大高度与第一阶段情况相似，对棒 ＋地球：由机械能守恒定律求得：
1 ml 2 mvl 1 ml 2
3
3
（2）
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式中′可正可负，是棒在碰撞后的角速度。 ′取正值，
表示碰后棒向左摆；反之，表示棒向右摆。
第三阶段是碰撞后物体的滑行过程和棒的上升过程。
对物体：物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二
定律求得为
mg ma
（3）
由匀减速直线运动的公式得
当小球滑落到圆柱体底部B时，小球相对圆柱体的速度和圆柱体
的角速度。
解小：球设相对圆圆柱柱体体沿的图运示速方度向为转动u的。角则速小度球为相ω对， 于地面的速度水平分量为：u cos R
o
R
A
h 对小球圆柱体：系统对定轴的角动量守恒：
J mR(u cos R ) 0
对小球＋圆柱体＋地球：系统的机械能守恒：
dt
dt
2
力矩
M rF
大小：M F r sin
方向：右手法则 转动惯量：
J Δmiri2
J r2dm
3、刚体定轴转动的动能定理
A
M d
1 2
J22
1 2

J12
(A
Fdr
1 2
mv22
1 2
mv12
)
力矩的功 A Md
刚体定轴转动动能 1 J 2
2
3
4、刚体定轴转动角动量定理
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补充1 一匀质细棒长为 l ，质量为m，可绕通过其端
点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由
释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。
该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为。相
撞后，物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒
的质心C离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向
左摆或向右摆的条件。
LZ miviri miri2 JZ
i
M dL dt
i
dp
(F )
dt
Mdt L2 L1 J2 J1
当 M 0
L J 常量
(
Fdt
p2
p1)
(F
0,
p
常矢量)
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1. 两个力作用在一个有固定转轴的刚体上, (1) 这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力 矩一定是零. (2) 这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力 矩可能是零. (3) 当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩 也一定是零. (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力 也一定是零.
(B) v 25.1i 18.8 j (C) v 25.1i 18.8 j
(D) v 31.4k
5. 飞轮作加速转动,轮边缘一点的运动方程s=0.1t3(SI),
飞轮半径2m,当该点速率v=30m/s时.其切向加速度为
___6_m__/_s2___,法向加速度为___4_5_0_m__/s_2___.