三次函数与导数例题与练习答案例1.(14全国大纲卷文21,满分12分）函数32()33(0)f x ax x x a =++≠.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）.（ⅰ）当a ≥1时，△≤0，则()0f x '≥恒成立，且()0f x '=当且仅当1,1a x ==-，故此时()f x 在R 上是增函数.（ⅱ）当1a <且0a ≠，时0>∆，()0f x '=有两个根：12x x ==， 若01a <<，则12x x <, 当2(,)x x ∈-∞或1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在21(,),(,)x x -∞+∞上是增函数；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在21(,)x x 上是减函数；若0<a ，则21x x <当),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 时，()0f x '<，故()f x 在),(1x -∞和),(2+∞x上是减函数；当),(21x x x ∈21(,)x x x ∈时，()0f x '>，故()f x 在),(21x x 上是增函数；（Ⅱ）当0>a 且0>x 时, 0363)(2>++='x ax x f ,所以 当0a >时，()f x 在区间（1，2）是增函数.当0a <时， ()f x 在区间（1,2）是增函数，当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<. 综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-+∞.例2.(14安徽文数 20)（本小题满分13分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >。
（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性； （1） 当[0,1]x ∈时，求()fx 取得最大值和最小值时的x 的值.（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()123f x a x x '=+--令()0f x '=，得121211,33x x x x --+==<所以12()3()()f x x x x x '=---当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>，故()f x 在12(,)(,)x x -∞+∞和内单调递减，在12(,)x x 内单调递增（Ⅱ）因为0a >，所以120,0x x <>（ⅰ）当4a ≥时，21x ≥，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，1]上单调递增，所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值（ⅱ）当04a <<时，21x <，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，2x ]上单调递增，在[2x ，1]上单调递减，因此()f x 在213x x -+==处取得最大值又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小值；当04a <<时，()f x 在0x =处取得最小值。
例4.（14年天津文科19,满分14分）已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈（1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围解：（Ⅰ）由已知，有2()22(0)f x x ax a '=->令()0f x '=，解得0x =或1x a=当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；单调递减区间是(,0)-∞，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当0x =时，()f x 有极小值，且极小值(0)0f =；当1x a=时，()f x 有极大值，且极大值2113f a a⎛⎫= ⎪⎝⎭ （Ⅱ）解：由3(0)02f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭及（Ⅰ）知，当30,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >；当3,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x <设集合{()|(2,)}A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0}()B x f x f x =∈+∞≠，则“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于A B ⊆，显然，0B ∉.下面分三种情况讨论： （1）当322a >，即304a <<时，由302f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知，0A ∈，而0B ∉，所以A 不是B 的子集。
（2）当3122a ≤≤，即3342a ≤≤时，有(2)0f ≤，且此时()f x 在(2,)+∞上单调递减，故(,(2))A f =-∞，因而(,0)A ⊆-∞；由(1)0f ≥，有()f x 在(1,)+∞上的取值范围包含(,0)-∞，则(,0)B -∞⊆所以，A B ⊆（3）当312a <，即23a >时，有(1)0f <，且此时()f x 在(1,)+∞上单调递减， 故1,0,(,(2))(1)B A f f ⎛⎫==-∞⎪⎝⎭，所以A 不是B 的子集。
综上，a 的取值范围是33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦课后练习、作业1.设.22131)(23ax x x x f ++-=.(1)若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间,求a 的取值范围；(2)当20<<a 时，)(x f 在[]4,1上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.解：（1）已知()ax x x x f 2213123++-=，()a x x x f 22++-='∴，函数()x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即导函数在),32(+∞上存在函数值大于零的部分910232)32()32(2->⇒>++-='∴a a f（2）已知20<<a , ()x f 在[]4,1上取到最小值316-，而()a x x x f 22++-='的图像开口向下，且对轴轴为21=x ，(),022111>=++-='∴a a f (),012224164<-=++-='a a f则必有一点[],4,10∈x 使得(),00='x f 此时函数()x f 在[]0,1x 上单调递增，在[]4,0x 上单调递减，()0261221311>+=++-=a a f ，()a a f 83408162164314+-=+⨯+⨯-=∴()02271222766128340)1(4<-<-=--+-=-∴a a a f f3163408)4()(min -=-==∴a f x f ，1=∴a此时，由()020200=++-='x x x f ，2100=-=∴x x 或，所以函数()()3102max ==f x f 2．已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 4．解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为233a a x -±-=即()f x 在233a a ⎛⎫----∞ ⎪ ⎪⎝⎭，递增，223333a a a a ⎛⎫----+- ⎪ ⎪⎝⎭，递减，233a a ⎛⎫-+-+∞⎪ ⎪⎝⎭，递增 （2）2232333133a a a a ⎧----⎪⎪⎨-+-⎪-⎪⎩≤≥，且23a >解得：74a ≥ 3.设函数0),(,)1(31)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中（Ⅰ）当时，1=m 求曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率 （Ⅱ）求函数的单调区间与极值；【解析】解：(09天津文21)（本小题满分12分）（1）当1)1(,2)(,31)(1'2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时， 所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.（2）解：12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1因为m m m ->+>11,0所以当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：x)1,(m --∞m -1)1,1(m m +-m +1),1(+∞+m)('x f+ 0- 0+)(x f极小值极大值)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。
函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=313223-+m m函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=313223-+-m m （3）解：由题设， ))((31)131()(2122x x x x x m x x x x f ---=-++-= 所以方程13122-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ，且0)1(3412>-+=∆m ，解得21)(21>-<m m ，舍因为123,32,221221>>=+><x x x x x x 故所以若0)1)(1(31)1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x则0))((31)(21≥---==x x x x x x f 又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值为0，于是对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是031)1(2<-=m f ,解得3333<<-m综上，m 的取值范围是)33,21( 4.已知函数()33||(0)f x x x a a =+->，若()f x 在[1,1]-上的最小值记为()g a 。