函数与导数解答题训练21．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a . （1）求)(x f 的单调区间；（2）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．2．已知函数322()4361,f x x tx t x t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（3）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．3．设01a <<，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D AB =.（1）求集合D （用区间表示）； （2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.4．已知函数321()3f x x x ax =++． （1）讨论()f x 的单调性； （2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值.5．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. （1）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.6．设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2.（1）求,a b 的值； （2）证明：()2 2.f x x ≤-1．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a . （1）求)(x f 的单调区间；（2）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．解：（1）因为22()ln .0f x a x x ax x =-+>其中，所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x-+'=-+=-由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（2）证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即，由（1）知()[1,]f x e 在内单调递增，要使21()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立，只要222(1)11,()f a e f e a e ae e=-≥-⎧⎨=-+≤⎩解得.a e = 2．已知函数322()4361,f x x tx t x t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（3）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 解：（1）当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-（2）22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2tx t x =-=或0t ≠，以下分两种情况讨论：（1）若0,,tt t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：()f x ∴的单调递增区间是(,)2-∞,(),t -+∞，单调递减区间是(,)2t -.（2）若0,tt t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间是(),t -∞-，(,)2t +∞，单调递减区间是(,)2tt -。

（3）证明：由（2）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22tt ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-⨯+⨯+<所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.（2）当01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ⎛⎫∈=-+-≤-< ⎪⎝⎭2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+>所以(),12t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点.若()3377(1,2),110.244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭(0)10f t =->所以()0,2t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点. 所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点.综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.3．设01a <<，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D A B =.（1）求集合D （用区间表示）； （2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 解：（1）对于方程223(1)60x a x a -++= 判别式29(1)483(3)(31)a a a a ∆=+-=--因为1a <，所以30a -< ① 当113a >>时，0∆<，此时B R =，所以D A =； ② 当13a =时，0∆=，此时{|1}B x x =≠，所以(0,1)(1,)D =+∞； 当13a <时，0∆>，设方程223(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <，则1x =，2x =12{|}B x x x x x =<>或③ 当103a <<时，123(1)02x x a +=+>，1230x x a =>，所以120,0x x >>此时，12(,)(,)D x x x =+∞()=+∞（2）2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--，1a <所以函数()f x 在区间[,1]a 上为减函数，在区间(,]a -∞和[1,)+∞上为增函数①1x =是极点1113B a ⇔∈⇔<< ②x a =是极点,01a A a B a ⇔∈∈⇔<< 得： 103a <≤时，函数()f x 极值点为a ，113a <<时，函数()f x 极值点为1与a4．已知函数321()3f x x x ax =++．（1）讨论()f x 的单调性； （2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值.解：（1）依题意可得2()2f x x x a '=++ 当440a ∆=-≤即1a ≥时，220x x a ++≥恒成立， 故()0f x '≥，所以函数()f x 在R 上单调递增；当440a ∆=->即1a <时，2()20f x x x a '=++=有两个相异实根1211x x ==-=-+12x x <故由2()20f x x x a '=++>⇒(,1x ∈-∞-或(1)x ∈-+∞，此时()f x 单调递增由2()2011f x x x a x '=++<⇒-<<-()f x 单调递增递减综上可知当1a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当1a <时，()f x 在(,1x ∈-∞-上单调递增，在(1)x ∈-+∞单调递增，在(11--单调递减.（2）由题设知，12,x x 为方程()0f x '=的两个根，故有2211221,2,2a x x a x x a <=--=--322211111111111111112122()(2)(2)(1)33333333a f x x x ax x x a x ax x ax x a ax a x =++=--++=+=--+=--同理222()(1)33a f x a x =--因此直线l 的方程为2(1)33ay a x =--设l 与x 轴的交点为0(,0)x ，得02(1)a x a =-而22322031()()()(12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+---- 由题设知，点0(,0)x 在曲线()y f x =的上，故0()0f x =，解得0a =或23a =或34a = 所以所求a 的值为0a =或23a =或34a =.5．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. （1）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围. 解：（1）322(),()32.f x x ax bx c f x x ax b '=+++=++由2124()0393f a b '-=-+=，(1)320f a b '=++=得1, 2.2a b =-=- 2()32(32)(1)f x x x x x '=--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：∴()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞，递减区间是(,1)3-.（2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，22()27f x c =+为极大值，而(2)2f c=+为最大值.要使2()([1,2])f x c x <∈-恒成立，只需2(2)2c f c >=+，解得1c <-或 2.c > 6．设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2.（1）求,a b 的值； （2）证明：()2 2.f x x ≤- 解：（1）()12.bf x ax x '=++由已知条件得(1)0,10,(1) 2.12 2.f a f a b =+=⎧⎧⎨⎨'=++=⎩⎩即解得1, 3.a b =-= （2）()(0,)f x +∞的定义域为，由（I ）知2()3ln .f x x x x =-+设2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则3(1)(23)()12.x x g x x x x-+'=--+=- 01,()0;1,()0.()(0,1),(1,).x g x x g x g x ''<<>><+∞当时当时所以在单调增加在单调减少而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>≤≤-故当时即。