基于 XY 平台的平面两级倒立摆的 建模与分析
采用如图 3-1 所示的坐标，并定义如下参数:
M x X 方向平台运动部分以及摆体支座质量 l1 摆杆 1 长度
Y 方向平台运动部分以及摆体支座质量
My
l2
摆杆 2 长度
m1 摆杆 1 质量
m2 摆杆 2 质量
m3 摆杆 1 和摆杆 2 中间连接质量块的质量
(3-1) (3-2)
(3-3)
β1 ——摆杆在 y − z 平面的映射与 z 轴方向的夹角 γ 1 ——摆杆与 z 轴方向的夹角 γ 2 ——摆杆与 z 轴方向的夹角 在摆杆垂直向上的方向上，如果偏角α1, β1 << 1 ，则可以近似的认为
l1xz ≈ l1yz ≈ l1
因此，摆杆绕 X 轴和 Y 轴的转动惯量可以表示为：
⋅2
y1
⋅
⋅ y2
+
1 2
m1
⋅
2
+
1 2
m2
⋅2
z1 +
⋅2
⋅ z2
1 2
+
⋅2 ⋅2
J1 ⋅ (α1 + β1 )
1 2
J2
⋅
⋅
(α 2
2
+
⋅
β2
2
)
⎪ ⎪⎪⎩Tm3
=
1 2
m3
⋅
⋅2
x3 +
1 2
m3
⋅
⋅2
y3 +
1 2
m3
⋅
⋅2
z3
式中 x1 ——摆杆 1 中心点的 X 坐标；
y1 ——摆杆 1 中心点的 Y 坐标；
由拉各朗日方程：
.
.
.
L(q, q) = T (q, q) − V (q, q)
(3-7)
式中 L——为拉各朗日算子 q——为系统的广义坐标
拉各朗日方程由广义坐标 qi 和 L 表示为：
式中
d dt
∂L ∂q&i
− ∂L ∂qi
=τi
i——系统变量标号 i = 1,2,3L；
q—— q = {θ1，θ2，θ3 L}称为广义变量；
..
y,α
1
,
.
β
1
.
,α
2
,
.
β
2
,
..
x,
..
y
⎟⎠⎞
f
3
⎜⎛ ⎝
x,
y,
α1
,
β1
,α
2
,
β
2
,
.
x,
..
y,α
1
,
.
β
1
.
,α
2
,
.
β
2
,
..
x,
..
y
⎟⎞ ⎠
⎪⎪⎩β.. 2
=
f
4
⎜⎝⎛
x,
y,α1
,
β1
,α
2
,
β
2
,
.
x,
..
y,α
1
,
.
β
τ －系统沿该广义坐标方向上的广义外力
(3-8)
T
=
1
mv 2
=
1
•2
m(x +
•2
y+
•2
z)
是系统的动能，V
是系统的势能。则对于平面两级倒
2
2
立摆系统，其广义坐标为：x，y，α1, β1,α2 , β2 ，系统的总动能为：
T = TM + Tm1 + Tm2 + Tm3
(3-10)
式中 TM ——支座的动能；
⎪⎧ ⎨
J
1xz
⎪⎩ J 1 yz
= =
J
1
×
l2
1xz
J
1
×
l2
1 yz
/ l12 / l12
≈ ≈
J1 J1
同理对第二摆杆可以的到：
(3-4)
⎪⎧ ⎨
J
2
xz
⎪⎩J 2 yz
= =
J2 J2
×
l2 2 xz
×
l2 2 yz
/ l22 / l22
≈ ≈
J2 J2
(3-5)
对于摆杆 2，由于编码器 3 和编码器 4 实际测量的角度为α2 , β2 ，而摆杆 2
⎧ ⎪
d
⎪dt
⎪
⎜⎛ ∂L
⎜ ⎝
∂
.
α
1
⎟⎞ ⎟
−
⎠
∂L ∂α1
=
0
⎪ ⎪
d
⎪⎪d t
⎜⎛ ⎜ ⎝
∂L
.
∂α 2
⎟⎞ ⎟ ⎠
−
∂L ∂α 2
=0
⎨ ⎪
d
⎜⎛
∂L
⎪ ⎪
d
t
⎜⎜⎝
∂
.
β
1
⎟⎞ ⎟⎟⎠
−
∂L ∂β1
=0
⎪ ⎪d
⎜⎛
∂L
⎪ ⎪⎩
d
t
⎜⎜⎝
∂
.
β
2
⎟⎞ ⎟⎟⎠
−
∂L ∂β 2
=0
(3-16)
在
X
'O
'
Z
'
、
Y
'O
'
Z
'
平面内的投影与
Z’轴的夹角分别为
α
' 2
，
β
' 2
，有以下关系：
⎪⎧γ→2'
→→
= γ1+γ 2
⎪⎩⎨αβ
' 2 ' 2
= β1 = α1
+ β2 +α2
(3-6)
在忽略空气阻力以及摩擦等后，可以将倒立摆系统看成平台、均匀杆和质量
块组成，利用拉各朗日方程推导系统的动力学方程。
Tm1 ——摆杆 1 的动能；
Tm2 ——摆杆 2 的动能；
Tm3 ——质量块的动能
TM , Tm1, Tm2 , Tm3 分别计算如下：
⎧ ⎪TM ⎪
=
1 2
M
x
⋅
⋅2
x
+
1 2
M
y
⋅
⋅2
y
⎪ ⎪⎪Tm1 ⎨ ⎪⎪Tm2
= =
1 2 1 2
m1
⋅
⋅2
x1 +
1 2
m1
⋅
m2
⋅
⋅
x2
2
+
1 2
m2
z1 ——摆杆 1 中心点的 Z 坐标；
x2 ——摆杆 2 中心点的 X 坐标；
y2 ——摆杆 2 中心点的 Y 坐标；
z2 ——摆杆 2 中心点的 Z 坐标；
x3 ——质量块中心点的 X 坐标；
y3 ——质量块中心点的 Y 坐标；
z3 ——质量块中心点的 Z 坐标
又有：
⎧ ⎪
x1
⎪
=
x
+
1 2
l1 Sin α1
图 3-1 平面两级摆体几何计算示意图
Fig.3-1 Geometric of a planar double pendulum
对于第一节摆杆，根据几何知识有：
tg 2 γ 1 = tg 2 α1 + tg 2 β1
l1xz
=
cosγ 1 cosα1
l1
=
1
1+
cos2 cos2
α1 β1
sin 2
.. .. .. ..
上式可以计算出α1, β1,α2 , β2 设用以下形式表示：
⎧ ⎪
..
α
1
⎪ ⎪ ⎪
..
β
1
⎨ ..
⎪α 2
⎪
= = =
f1
⎜⎛ ⎝
x,
y,α1
,
β
2
,
.
x,
.
y,
.
α
1
,
.
β
1
,
.
α
2
,
.
β
2
,
..
x,
..
y
⎟⎞ ⎠
f
2
⎜⎝⎛
x,
y,α1
,
β1
,
α
2
,
β
2
,
.
x,
β1
l1
l1 yz
=
cosγ 1 cos β1
l1
=
1+
1
cos2 β1 cos2 α1
sin 2
α1
l1
式中
l1 ——是倒立摆摆杆长度 l1xz ——摆杆 1 在 x − z 平面的映射长度， l1yz ——摆杆 1 在 y − z 平面的映射长度，
α1 ——摆杆在 x − z 平面的映射与 z 轴方向的夹角
⎪⎩z3 = l1 Cos γ 1
V = VM + Vm1 + Vm2 + Vm3 = M1z1g + M 2 z2 g + M 3 z3 g 由拉各朗日算子 L＝T-V，代入(3-8)可以得到 由于在广义坐标α1, β1,α2 , β2 上外力为 0，因此可以建立以下方程：
(3-11)
(3-12) (3-13) (3-14) (3-15)
⎪ ⎨
y1
⎪
=
y
+
1 2
l1