目录摘要 (2)1单级移动倒立摆的Newton方法建模 (3)1.1非线性数学模型 (3)1.1.1 被控对象系统建模分析 (3)2倒立摆系统的串联超前校正装置校正分析 (5)2.1未校正系统输出动态性能 (5)2.2系统的串联超前装置校正 (8)2.2.1参数修正 (8)2.2.2串联超前校正装置 (11)2.3校正后系统的稳定性分析 (11)3校正前系统与校正后系统的比较 (14)4设计心得体会 (14)参考文献 (15)摘要倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。

本次课程设计主要考察对课堂理论知识把握的牢固程度和将理论知识、数学建模及软件应用相综合应用的技巧。

通过对给定的物理模型进行分析和求解，进而使用自动控制中所要求的知识，串联超前校正装置，使系统响应符合题目给定的要求。

这次课程设计要求的绘图软件为MATLAB，使用的校正方式为串联超前校正。

关键字：倒立摆串联超前校正MATLAB单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计1单级移动倒立摆的Newton方法建模1.1非线性数学模型系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。

实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。

这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。

机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。

但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

在此次的课程设计中我采用其中的Newton方法建立单级移动一级倒立摆系统的数学模型。

1.1.1 被控对象系统建模分析在忽略了空气阻力和各种摩擦力后，可将倒立摆系统抽象成小车和均质杆组成的系统如下图1小车系统总体分析图。

.设输入作用力为u，输出为摆角θ。

图1 小车总系统分析小车质量M=1；摆杆质量m=0.1；小车摩擦系数b=0；摆杆转动轴心到杆质心的长度l=1；摆杆惯量I=0.03；加在小车上的力F ；小车位置x ；摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正)Φ；摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）θ。

图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直分析的分量。

xb xxmgN N PPF M θ图 二图2 系统分隔分析图应用Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下：分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F x M +'-=''由摆杆水平方向所受的合力，可以得到以下方程： )sin (22θl x dt d m N += θθθθsin )(cos 2'-''+''=ml ml x m N合并可得：F ml x b x m M ='-''+'+''+]sin )(cos [)(2θθθθ 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： )cos (22θl dtd m mg P =- ]cos )(sin [2θθθθ'+''-=-ml mg P合并得到力矩平衡方程如下：θθθ''=--I Nl Pl cos sin方程中φπθ+=，当φ与1（单位是弧度）相比很小时，可以进行近似处理：1cos -=θ、φθ-=sin 、0)(2=dtd θ，用u 来代替被控对象的输入力F ，线性化两个运动 方程（即将上述等式带入②和③）如下：⎩⎨⎧''=-''+=''-'+''+xml mgl ml I u ml x b x m M φφφ)()(2 对方程组④进行拉普拉斯变换，得到：⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-Φ+=Φ-++22222)()()()()()()()()(s s m lX s m gls s m l I s U s s m l s s bX s s X m M 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组⑤的第二个方程，可以得到： )(]([)(22s sg ml ml I s X Φ-+= 把上式带入方程组⑤的第二个方程，得到输入到输出-摆杆角度的传递函数： qbm gl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s -+-++=Φ)()()()(223 其中])())([(22ml ml I m M q -++=根据题目所给的条件得出原函数的传递函数为2()-1()()11s G s U s s Φ==- 2倒立摆系统的串联超前校正装置校正分析2.1未校正系统输出动态性能用MATLAB 做出单位阶跃响应曲线如下图4MATLAB 程序如下num =[-1] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵 den =[1,0,-11] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵step(num,den) %描述单位阶跃输入信号grid on %描述网络标度线xlabel(‘t’),ylabel(‘c(t)’)title(‘单位阶跃响应’)图4 单位阶跃响应曲线用MATLAB做出传递函数的根轨迹图图5,MATLAB程序如下num=[-1] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵den=[1 0 -11] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵rlocus(num,den) %计算出系统根轨迹图5 根轨迹用MATLAB做伯德图图6，MATLAB程序如下num=[-1] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵den=[1 0 -11] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵G=tf(num,den)bode(G) %绘制系统的伯德图图6 伯德图图5、图6分别为系统未校正前的闭环根轨迹和波特图，由这两张图也可看出系统处于非稳定状态。

2.2系统的串联超前装置校正2.2.1参数修正 超前校正就是在前向通道中串联传递函数为11)(++=Ts aTs s G C ，a>1的校正装置，其中参 数a 、T 为可调，如下图，从超前校正的零、极点可以位于s 平面负实轴上的任意位置，从而产生不同的校正效果。

超前校正的基本原理就是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相位裕度，提高系统稳定性等。

在串联超前装置11)(++=Ts aTs s G C 后，该开环传递函数为32--1`()1111aTs G s Ts s Ts =+--，所以特征方程为32()(-11)12D s Ts s aT T s =++--，利用劳斯判据判断其稳定性3210(-11)112(-+)0-12s T aT T s saT T s -- 图7 劳斯表可以发现当原系统加入了超前校正装置之后，系统仍然z 为不稳定，数据多串联一些校正应该可以使系统稳定，但是这样较为繁琐，而且目前的知识也达不到。

所以，根据我的判定是题目的参数有偏差，所以我修改了数据改变了小车质量M 和摆杆的质量m ，设M=0.05，m=0.01 求得新的原传递函数为915)()()(2-=Φ=s s U s s G图8 simulink仿真图用MATLAB做出单位阶跃响应曲线，如下图9单位阶跃响应曲线MATLAB程序如下num =[15] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵den =[1,0,-9] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵step(num,den) %描述单位阶跃输入信号grid on %描述网络标度线xlabel(‘t’),ylabel(‘c(t)’)图9 单位阶跃响应曲线用MATLAB做出根轨迹图10，MATLAB程序如下n=[15] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵d=[1 0 -9] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵rlocus(n,d) %计算出系统根轨迹图10 根轨迹图用MATLAB做出伯德图如图11，MATLAB程序如下G=tf(15,[1 0 -9]);margin(G) %绘制系统的伯德图图11 伯德图2.2.2串联超前校正装置 串联超前校正装置991515)`(23--++=Ts s Ts aTs s G 同时用劳斯判据来判定新的校正后的传递函数60)1515(61)915(0123s T aT s s T aT T s -- 图12 劳斯表可得，新的传递函数可以通过改变变量的方法使其在串联超前校正装置后稳定015150>->T aT T −→−10>>a T 即当a 和T 两个变量取以上范围的时候，可以使系统稳定。

为了符合设计要中所需要达到的参数范围，我进行了小范围的假设和调节设a=2的时候，同时使G`(s)的形式更加接近于典型的二阶系统，又因为991515)`(23+-++=Ts s Ts aTs s G ，可以先进行几何化简 .170)5315115(*)1515(992a 2223≈−−→−+-++=+-+=T s T a a a s aTs Ts s Ts 当 64s 8s 25653151151)(222++⇒+-+=s T a a a s s G 2.3校正后系统的稳定性分析用MATLAB 做出新的单位阶跃响应曲线如下图14MATLAB 程序如下图13 simulink 仿真num =[256] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵 den =[1,8,64] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵 step(num,den) %描述单位阶跃输入信号grid on %描述网络标度线xlabel(‘t ’),ylabel(‘c(t)’)title(‘单位阶跃响应’)图14由系统校正后单位阶跃响应曲线（设在t=1s 时输入单位阶跃信号）可得，达到设计要求s t s 5.1%,3.16%≤≤σ用MATLAB 做出校正后传递函数的根轨迹图如下图15，MATLAB 程序如下n=[256] %描述系统传递函数分子的多项式系数矩阵 d=[1 8 64] %描述系统传递函数分母的多项式系数矩阵 rlocus(n,d) %计算出系统根轨迹图15用MATLAB做出伯德图如下图16，MATLAB程序如下G=tf(256,[1 8 64]);margin(G) %绘制系统的伯德图图16分别为系统校正后的闭环根轨迹和波特图，由这两张图可看出系统已处于稳定状态。