对称性 范围 性 质 顶点
坐标轴 对称轴：_______ 原点 对称中心：_____ x≥a或x≤-a ____________ 顶点坐标： (-a,0) (a,0) A1_______,A2 ______
b y x ________ a
坐标轴 对称轴：_______ 原点 对称中心：_____
由焦距为10，求出c=5,再将P(2,1)代入渐近线方程，得a=2b， 从而由a2+b2=c2，求出a，b，得方程. （2）利用双曲线的简单性质，结合图形的特征，通过求PQ的 中点，再由|MF2|=|F1F2|构建关于a,b,c的方程，进而求解.
x 2 y2 【规范解答】（1）选A. 2 2 1 的焦距为10， a b
又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2), 所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2, 所以F的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a=1, b2=48,
x2 因此所求轨迹方程为：y 1 y 1 . 48
2
【互动探究】本例题（1）中“PF1⊥PF2”改为“∠F1PF2=
c 5a, 离心率e c 5a 5. a a
3.已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4，则它到
另一个焦点的距离为________. 【解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为：
x 2 y2 1，所以a2=3， 3 6
又因为点P到一个焦点的距离为4，所以到另一焦点的距离为
x 2 y2 【典例2】（1）（2012²湖南高考）已知双曲线C： 1 a 2 b2
(a＞0,b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方 程为( )
x 2 y2 (B) 1 5 20 x 2 y2 (D) 1 20 80
x 2 y2 (A) 1 20 5 x 2 y2 (C) 1 80 20
（2）（2012²浙江高考改编）如图，F1,F2分别是双曲线C：
x 2 y 2 (a＞0,b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F B 2 1 1 2 a b
与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x
轴交于点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是____.
【思路点拨】（1）利用待定系数法.先根据双曲线的几何性质，
4 2 3或4 2 （舍） 3 .
答案： 4 2 3
x 2 y2 4.已知双曲线 2 2 1 (a＞0,b＞0)的虚轴长为2，焦距 a b
为 2 3 ，则双曲线的渐近线方程为_________. 【解析】依题意知：2b=2，2c= 2 3， 所以b=1，c= 3 ，a= 2，因此，双曲线的渐近线方程为：
x 2 y 2 （m>0,n>0,λ ≠0）的渐近线方程 （4）双曲线方程 2 2 m n x 2 y2 是 2 2 0，即 x y 0. ( m n m n
) )
（5）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2 .(
x 2 y2 x 2 y2 （6）若双曲线 2 2 1 a 0, b 0 与 2 2 1 (a>0,b>0)的 a b b a
y≤-a或y≥a ____________ 顶点坐标： A1(0，-a) 2______ _______,A (0，a)
a y x b ________
渐近线
离心率
a,b,c 性 的关系 质 实虚轴
c a e=____,e∈(1,+∞)
c2 a 2 b2 _________
2a 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=___； 2b 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=___；
b 2 y x x. a 2
答案：y= 2 x
2
x 2 y2 5.已知双曲线C: 2 2 1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个 a b
顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为_______. 【解析】由已知 e c 2,∴c=2a.
a
① ②
又一个顶点到相应焦点的距离为1，即c-a=1. 由①②得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,
由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2
由已知条件PF1⊥PF2及勾股定理得 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=8
①
②
上述两式①②联立，解得|PF1|= 3 +1,|PF2|= 3 -1,故 |PF1|+|PF2|=2 3. 答案：2 3
（2）由椭圆的定义知: |AC|+|AF|=|BC|+|BF|，
x 2 y2 (A) 1 16 9 x 2 y2 (C) 1 9 16
)
x 2 y2 (B) 1(x 4) 16 9 x 2 y2 (D) 1(x 3) 9 16
【解析】选D.由|MA|-|MB|=6，且6<|AB|=10，
得a=3,c=5,b2=c2-a2=16.
由a2+b2=c2得，线段PQ的中点坐标可化为( 直线F1B的斜率为 k b ,
离心率分别是e1,e2,则 12 12 1 （此结论中两条双曲线为共Fra biblioteke1 e2
轭双曲线）.(
)
【解析】（1）错误.由双曲线的定义知，应为双曲线的一支， 而非双曲线的全部. （2）错误.因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|，表示的轨迹为两条 射线. （3）错误.当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m<0, n<0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
x 2 y2 b （4）正确.因为 2 1 (a>0,b>0)的渐近线方程为 y x a2 b a x2 y2 x 2 y2 即 2 2 0，∴当λ>0时， 2 2 1(m 0, n 0) 的渐近线 m n a b x 2 y2 方程为 x y 0. 即 2 2 0，即 x y 0. 同理当λ<0 m n m n m 2 n 2
c 5 a 2 b2
a
①
又双曲线渐近线方程为 y b x， 且P(2,1)在渐近线上，
∴ 2b =1，即a=2b
a
②
x 2 y2 由①②解得a=2 5 ，b= 5 ，所以方程为 1. 20 5
（2）设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0); ∵B(0,b),∴点F1，B所在直线为
y2 ∴双曲线C的方程为 x 1. 3 2 答案： x 2 y 1 3
2
考向 1
双曲线的定义
【典例1】（1）（2012²辽宁高考）已知双曲线x2-y2=1，点 F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则 |PF1|+|PF2|的值为_______. （2）（2013²宝鸡模拟）已知定点A(0, 7),B(0,-7),C(12,2), 以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程.
故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支.
x 2 y2 ∴方程为 1 x 3 . 9 16
x 2 y 2 （a＞0,b＞0)的焦点到其渐近线的距离 2.若双曲线 2 2 1 a b
等于实轴长，则该双曲线的离心率为( (A) 5 (B)5 (C)
2
) (D)2
【解析】选A.由已知得b=2a,∴c2=a2+b2=5a2,
x c y 1, b
b y x, a 双曲线渐近线方程为 y b x, 由 a x y 1, c b b y x, ac bc )，由 a 得Q( , ca ca x y 1, c b 得P( ac , bc ), ac ac a 2c bc 2 ∴线段PQ的中点坐标为( 2 2 , 2 2 ). c a c a
②-①得|PF1||PF2|=4 ③代入①得：|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1||PF2| =4+2〓4=12. ∴|PF1|+|PF2|= (| PF1 PF2 |) 2
| PF1 |2 | PF2 |2 2 | PF1 | PF2 | |
②
③
12 2 4 2 5.
a 2 b2 1 1 a b 同理 e ， 2 2 ( )2 ( ) 2 1. 2 b e1 e2 a 2 b2 a 2 b2
答案：(1)〓 (2)〓
(3)〓
(4)√
(5)√
(6)√
1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0)，动点M满足|MA|-|MB|=6， 则点M的轨迹方程是(
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴 长
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“³”）.
（1）平面内到点F1(0，4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的集
合是双曲线.(
)
（2）平面内到点F1（0，4）,F2（0，-4）距离之差的绝对值 等于8的点的集合是双曲线.( ) )
x 2 y2 （3）方程 1 （mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( m n
【拓展提升】 1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧
（1）常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定
理、双曲线的定义经常使用.
（2）技巧：经常结合||PF1|-|PF2||＝2a，运用平方的方法，
建立它与|PF1||PF2|的联系.
2.利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点
特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整个双曲线， 还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中 准确限定变量x(y)的范围.