第六章 因子分析
一、填空题
1.因子分析常用的两种类型为 和 。

2.因子分析是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现_____________与____________之间的相互关系。

3．因子分析就是通过寻找众多变量的 来简化变量中存在的复杂关系的一种方法。

4．因子分析是把每个原始变量分解成两个部分即 、 。

5．变量共同度是指因子载荷矩阵中_______________________。

6．公共因子方差与特殊因子方差之和为_______。

7．求解因子载荷矩阵常用的方法有 和 。

8．常用的因子旋转方法有 和 。

9．Spss 中因子分析采用 命令过程。

10．变量i X 的方差由两部分组成，一部分为 ，另一部分为 。

二、判断题
1．在因子分析中，因子载荷阵不是唯一的。

（ ）
2．因子载荷阵经过正交旋转后，各变量的共性方差和各个因子的贡献都发生了变化。

（ ）
3．因子分析和主成分分析的核心思想都是降维。

（ ）
4．因子分析有两大类，R 型因子分析和Q 型因子分析；其中R 型因子分析是从变量的相似矩阵出发，而Q 型因子分析是从样品的相关矩阵出发。

（ ） 5．特殊因子与公共因子之间是相互独立的。

（ ） 6．变量共同度是因子载荷矩阵列元素的平方和。

（ ） 7．公共因子的方差贡献是衡量公共因子相对重要性指标。

（ ） 8．对因子载荷阵进行旋转的目的是使结构简化。

（ ） 三、简答题
1． 因子分析的基本思想是什么，它与主成分分析有什么区别和联系？ 2．因子模型的矩阵形式ε+=X UF ，其中：
()
()
()
u F
F ij m
p P
m
U F
⨯='
='
=εεε,,,,1
1
请解释式中F 、
ε、U 的统计意义。

3．因子旋转的意义何在？如何进行最大方差因子旋转？ 4．因子分析主要应用在哪几个方面？ 四、计算题
4．假设某地固定资产投资率1x ， 通货膨胀率2x 和失业率3x 的约相关矩阵为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡----=525
25
152********
51*
R 并且已知该相关矩阵的各特征根和相应的非零特征根的单位特征向量分别为： 9123.01=λ ()'
-=657.0657.0369
.01α 0877.02=λ ()'-=261.0261
.0929
.02α
03=λ
要求求解因子分析模型，计算各变量的共同度和各公共因子的方差贡献并解释它们的统计意义。

2．设变量x 1,x 2和x 3已标准化，其样本相关系数矩阵为：
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=135.045.035.0163.045.063.01
R （1）对变量进行因子分析。

（2）取q=2进行正交因子旋转。

3．已知我国某年各地区的国有及非国有规模以上的工业企业经济效益资料，现做因子分析，结果如下，请说明每一个输出结果的含义及目的，并回答以下问题： （1）什么是方差贡献率？ 计算方差贡献率的目的何在？
（2） 如何利用因子分析结果进行综合评价？ 结合本例写出计算综合评价结果的公式。

表1
表2
表3
表4
5
表
五、操作题
1．10名初中男生身高、胸围、体重的数据资料如下：
（2）分别计算各变量的公共因子方差和特殊因子方差，判断哪个因子能概括原
始信息的大部分，为什么？
（3）写出方差最大正交旋转因子模型，并分析各因子的实际含义
(4)计算各个样本点的因子得分
2．对某市15个大中型工业企业进行经济效益分析，经研究确定，从有关经济效益指标中选取7个指标作分析，即固定资产产值率(X1)，固定资产利税率(X2)，资金利润率(X3)，资金利税率(X4)，流动资金周转天数(X5)，销售收入利税率(X6)和全员劳动生产率(X7)。

数据资料如下：
第一、对数据资料进行主成分分析：
(1)前两个最大特征根为_____________、______________，其对应的特征向量为__________________________________，_____________________________。

(2)第一主成分的表达式为_________________________________________ ___，该主成分包含了原始信息的_______%，第二主成分的表达式为_________________________________________，该主成分的方差贡献率为_______。

(3)如果舍弃第二主成分，则哪个原始变量的损失信息最大：_______
(4)第一个主成分与第二个变量间的相关系数为_____________
(5)第一个主成分主要反映盈利能力，现对第一主成分计算得分为_________________________________________________________________，
对得分进行排序(降序)，各企业的得分排名顺序依次为：_________________ __________________________(依企业顺序写出排名)。

若利用第一、二主成分构造综合评价函数，则两主成分的权数分别为_________、_________。

第二、对原数据资料进行因子分析：
(6)利用主成分法求解因子载荷，现提取两个因子进行分析，因子模型表示为：
(7)前三个变量(X1，X2，X3)的公共因子方差为___________、_____________、____________，特殊因子方差为________、___________、_____________。

(8)对以上模型进行方差最大正交旋转，得出旋转后的因子载荷矩阵为：。