函数解析式的七种求法
一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设f (x ) 是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x )
解：设f (x ) =ax +b (a ≠0) ，则
f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a 2x +ab +b
⎧a =2⎧a 2=4⎧a =-2或∴⎨∴⎨⎨b =1b =3ab +b =3⎩⎩⎩
∴f (x ) =2x +1或 f (x ) =-2x +3
二、配凑法：已知复合函数f [g (x )]的表达式，求f (x ) 的解析式，f [g (x )]的表达式容易配成g (x ) 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数f (x ) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是g (x ) 的值域。

例2 已知f (x +11) =x 2+2 (x >0) ，求 f (x ) 的解析式x x
解：f (x +111) =(x +) 2-2，x +≥2 x x x
∴f (x ) =x 2-2 (x ≥2)
三、换元法：已知复合函数f [g (x )]的表达式时，还可以用换元法求f (x ) 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知f (x +1) =x +2x ，求f (x +1)
解：令t =x +1，则t ≥1，x =(t -1) 2 f (x +1) =x +2x
∴f (t ) =(t -1) 2+2(t -1) =t 2-1,
∴f (x ) =x 2-1 (x ≥1)
∴f (x +1) =(x +1) 2-1=x 2+2x (x ≥0)
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数y =x +x 与y =g (x ) 的图象关于点(-2, 3) 对称，求g (x ) 的解析式2
解：设M (x , y ) 为y =g (x ) 上任一点，且M "(x ", y ") 为M (x , y ) 关于点(-2, 3) 的对称点
⎧x "+x ⎪2=-2⎧x "=-x -4 则⎨，解得：⎨，y "+y "y =6-y ⎩⎪=3⎩2
点M "(x ", y ") 在y =g (x ) 上
∴y "=x "2+x "
把⎨⎧x "=-x -4代入得："⎩y =6-y
6-y =(-x -4) 2+(-x -4)
整理得y =-x -7x -6 2
∴g (x ) =-x 2-7x -6
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设f (x ) 满足f (x ) -2f () =x , 求f (x ) 1
x
解 f (x ) -2f () =x ① 1
x
显然x ≠0, 将x 换成1，得：x
11f () -2f (x ) = ② x x
解①②联立的方程组，得：
f (x ) =-x 2- 33x
1, 试求f (x ) 和g (x ) 的解析式x -1例6 设f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，又f (x ) +g (x ) =
解 f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，
∴f (-x ) =f (x ), g (-x ) =-g (x )
又f (x ) +g (x ) =1 ①，x -1。