A．13
B．1
C． 3
D． 6
[答案] B [解析] ∵1t－an1ta0n°1＋0°ttaann2200°°＝tan30°＝ 33，
∴tan10°＋tan20°＝ 33(1－tan10°tan20°)．
∴原式＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.
3．若 α，β∈(0，π2)且 tanα＝12，tanβ＝13，则 tan(α＋β)＝________.
－ tan1(71x＋1y)3＝1t－anxta＋nxttaannyy＝1－1414×－3－3＝－171.
tan(x－y)＝1t＋anxta－nxttaannyy＝1＋14－＋33×14＝13.
tan(α－β)＝12，tanβ＝13，则 tanα＝( )
A．1
B．17
C．15
D．57
[答案] [解析]
成才之路 ·数学
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 三角恒等变换
第三章
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切 公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公 式
第2课时 两角和与差的正切
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优效预习
●知识衔接
1．两角和与差的余弦公式 (1)差角公式C(α－β)：cos(α－β)＝________. (2)和角公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝________. [答案] (1)cosαcosβ＋sinαsinβ (2)cosαcosβ－sinαsinβ
[解析] (1)原式＝1t＋an6ta0n°6－0°ttaann1155°°＝tan(60°－15°)＝tan45°＝ 1.
(2) 原 式 ＝ 11－＋ttaann1155°°＝ 1t－an4ta5n°4＋5°ttaann1155°°＝ tan(45°＋ 15°) ＝ tan60°＝ 3.
[点评] 注意利用常数代换，熟记几个特殊三角函数值对应的 角的度数：1＝tan45°， 3＝tan60°等．
(2)tanα＝csoinsαα
4．求值：(1)(2015·新课标全国Ⅰ 理)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝ ________；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－ x)sin(36°＋x)＝________.
[分析] (1)符合S(α－β)，(2)符合S(α＋β)的结构 特[解征析，] 可(1)原直式接＝运sin用20°Sco(sα1±0°β＋)．cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)
＝12.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.
●自主预习
1．由 S(α＋β)及 C(α＋β)及sin同αc角os关β＋系c式osαtsainnαβ＝csoinsαα可得，tan(α＋β)
＝
sinα＋β 展开 tcaonsα＋α＋taβnβ =====
__c_o_s_α_c_o_sβ_－__s_i_n_α_s_in_β__.
2．两角和与差的正弦公式 (1)和角公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝________. (2)差角公式S(α－β)：sin(α－β)＝________. [答案] (1)sinαcosβ＋cosαsinβ (2)sinαcosβ－cosαsinβ 3．同角间三角函数关系 (1)平方公式________． (2[答)商案]式(关1)s系in2α：＋_co_s_2α_＝_1___.
[答案] [解析]
1tan(α＋β)＝1t－antαa＋nαttaannββ＝121＋ －1316＝1.
高效课堂
●互动探究
两角和与差的正切公式的应用
已知 tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，那么 tan(α＋π4)2 [探究]
D．138 角 α＋β、β－π4、α＋π4之间的关系．
分子、分母同除以 co=s=α=c=o=sβ
___1_－__ta_n_α_·_ta_n_β_______.使此表达式有意义的 α、β、α＋β 均不等于 __k_π_＋__π2___(_k_∈__Z_)_____．
2．推导 tan(α－β)的公式，既可以用 tan(α－β)＝csoinsαα－－ββ，
●预习自测
1．若 tanα＝3，tanβ＝43，则 tan(α－β)＝( )
A．－3
B．－13
C．3 [答案] [解析]
D．13 tDan(α－β)＝1t＋anαta－nαttaannββ＝1＋3－3×43 43＝13.
2．tan10°tan20°＋ 3(tan10°＋tan20°)的值等于( )
[解析] tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]
＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannββ－－π4π4＝1＋25－25×14 14＝232. [答案] C
已知 tanx＝14，tany＝－3，则 tan(x＋y)＝________，tan(x－y)
＝________.
[答案] [解析]
也可以将 tan(α－β)变换ta为nα－tanta[nαβ＋(－β)]．自己写出推证过程，结 果为 tan(α－β)＝_____1_＋__t_an_α__ta_n_β_____.使此表达式有意义的 α、β、 α－β，均不等于_____k_π_＋__π2_(k_∈__Z__) ____．
3．两角和与差的三角函数公式间的关系
化简求值： (1)11－＋ttaann7755°°； (2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)； (3)tan25°＋tan35°＋ 3tan25°tan35°.
[解析] (1)原式＝1t－an4ta5n°4＋5°ttaann7755°°＝tan(45°＋75°)＝－ 3. (2) 因 为 (1 ＋ tan1°)(1 ＋ tan44°) ＝ 1 ＋ tan1°＋ tan44°＋ tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，所以原式 ＝222. (3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝1t－an2ta5n°2＋5°ttaann3355°°＝ 3， ∴tan25°＋tan35°＝ 3(1－tan25°tan35°)， ∴tan25°＋tan35°＋ 3tan25°tan35°＝ 3.
Atanα＝tan[(α－β)＋β]＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannββ＝1－12＋12×13 13＝
1.
两角和与差的正切公式的逆用及 变形应用
求值： (1)1＋3－3ttaann1155°°；(2)11＋＋ttaann11655°°.
[探究] 利用常数代换，将(1)、(2)整理成两角和与差的正切 公式的形式．