一、 填空题：（每小题2分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =v 具有固定方向，则a =_______________。

⒉ 非零向量()r t v 满足(),,0r r r '''=v v v 的充要条件是__________________。

⒊ 设曲线在P 点的切向量为αu r ，主法向量为βu r ，则过P 由,αβu r u r 确定的平面是曲线在P 点的_______________________。

⒋ 曲线()r r t =v v 在点0()r t v 的单位切向量是αu r ，则曲线在0()r t v 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =v v 在t = 1点处有2γβ=r v &，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=___________________。

⒏ 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ϕθϕθψ=v 中，____________________是旋转曲面的经线。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r =v______________________。

11、向量函数()r r t =r r 使(,,)0r r r '''=r r r 的充要条件是()r r t =r r 。

12、若0()r t r 是曲线()r r t =r r 的正则点，则曲线()r r t =r r 在0()r t r 的密切平面方程是 。

13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。

15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是16、已知曲面(,)r r u v =r r 的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u v δδ垂直的充要条件是 。

17、对曲面(,)r r u v =r r 有22243dr du dv =+r ，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0t 到t （t >0t ）的弧长s = 。

18、若曲面(,)r r u v =r r 在（0，1）点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在（0，1）点处，u u r n ⋅=r r 。

其中n r 为曲面的单位法向量。

19、已知曲面(,)r r u v =r r 的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。

20、若曲面(,)r r u v =r r 的第一基本形式为222ds Edu Gdv =+，曲面在一点的切向dr r 与u —线的夹角为θ，则曲面在这点沿切向dr r 的测地曲率g k = 。

21 ()r t r 具有固定方向的充要条件是______________________。

22 挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。

23 曲线()r r t =r r 在0()P t 点的主法向量是βr ，则曲线在P 点的从切面方程是。

25 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。

26．曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 ____________。

27．半径为R 的球面的高斯曲率K= .28. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。

30．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 π。

31.向量函数()r r t =r r 使(,,)0r r r '''=r r r 的充要条件是()r r t =r r 。

32、若0()r t r 是曲线()r r t =r r 的正则点，则曲线()r r t =r r 在0()r t r 的密切平面方程是 。

33、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。

35、球面{cos cos ,cos sin ,sin }r R R R θϕθϕθ=r 上， 线是球面上的纬圆。

36、已知曲面(,)r r u v =r r 的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u vδδ垂直的充要条件是 。

37、对曲面(,)r r u v =r r 有22243dr du dv =+r ，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0t 到t （t >0t ）的弧长s = 。

38、若曲面(,)r r u v =r r 在（0，1）点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在（0，1）点处，u u r n ⋅=r r 。

其中n r 为曲面的单位法向量。

39、已知曲面(,)r r u v =r r 的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。

40、若曲面(,)r r u v =r r 的第一基本形式为222ds Edu Gdv =+，曲面在一点的切向dr r 与u —线的夹角为θ，则曲面在这点沿切向dr r 的测地曲率g k = 。

二、 选择填空题：（每小题3分）1、圆柱螺线cos ,sin ,x t y t z t ===在点()1,0,0的切线为______。

A 、1011x y z -== B 、0y z += C 、1100x y z -== D 、0y z -= 2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。

A 、Ⅲ+2H Ⅱ+K Ⅰ=0B 、Ⅲ-2H Ⅱ+K Ⅰ=0C 、Ⅲ-2K Ⅱ+H Ⅰ=0D 、Ⅲ-2H Ⅱ-K Ⅰ=03、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。

A 、M = 0B 、L = N = 0C 、M = F = 0D 、F = 04、下列曲面中_____不是可展曲面。

A 、柱面B 、锥面C 、一条曲线的切线曲面D 、正螺面5、曲面上， 不是曲面的内蕴量。

A 、两曲线的夹角B 、曲线的弧长6、曲线()r r s =r r 在P(s)点的基本向量是,,αβγr r r ，曲率k(s)，挠率()s τ，则下式 不正确。

A 、k αβ=-r r &B 、k βατγ=-+r r r &C 、k αβ=r r &D 、γτβ=-r r &7、曲面(,)r r u v =r r 在P 点的第一、第二基本形式分别为,I II ，曲面上曲线(C )在P 点的曲率k 、沿切向dr r 的法曲率为n k ，(C )在P 点的主法向量与曲面的单位法向量n r 的夹角为θ，则下式 正确。

A 、n k II =±IB 、cos n k k θ=C 、||n k II =ID 、sin n k k θ= 8、L = N = 0 是曲面的曲纹坐标网为 的充要条件。

A 、正交网B 、渐近网C 、曲率网D 、 半测地坐标网9、在圆柱面上，圆柱螺线是 。

A 、平面曲线B 、曲率线C 、测地线D 、渐近线10、以下各项中， 不一定是测地线。

A 、球面上的大圆B 、圆柱面上的螺旋线C 、旋转曲面上的经线D 、旋转曲面上的纬线 11、设曲面在一点的单位法向量n r ，切向量为dr r ，则dn dr λ=r r 的充分必要条件是 。

A 、 存在方向r δr 使0dn r δ⋅=r r B 、存在方向r δr 使0dr r δ⋅=r rC 、存在方向r δr 使0dn r δ⋅=r r 且0dr r δ⋅=r rD 、沿dr r 有n k = 012、对于球面{cos sin ,cos sin ,sin }r R R R θϕθϕθ=r ，以下判断中 不正确。

A 、沿其上任何曲线的球面的法线曲面是可展曲面B 、其上大圆是渐近线C 、高斯曲率为正常数 21RD 、其上大圆的每一点的测地曲率为零13、曲面(,)r r u v =r r 上，曲线(C )在P 点的基本向量是,,αβγr r r ，曲面在P 点的单位法向量n r ，则在P 点沿切向αr 的测地曲率g κ≠ 。

A 、n κβ⨯r rB 、（,,k n αβr r r ）C 、(,,)rr n r r r &&& D 、(,,)n καβr r r 14、若在曲面上一点20LN M -p ,则曲面在该点的高斯曲率K 。

A 、>0B 、< 0C 、= 0D 、符号不确定15、下列直纹面中， 是可展曲面。

A 、双曲抛物面B 、挠曲线的副法线曲面C 、挠曲线的切线曲面D 、单叶双曲面16、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是______。

A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线17、曲线()r r t =v v 在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子______不正确。

A 、2r r k r '''⨯='v v vB 、3r r k r '''⨯='v v vC 、k r =v &&D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯vv v v v 18、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-_____。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥19、对于圆柱面{}cos ,sin ,r R R z θθ=v ，以下结论_____是不正确的。

A 、坐标网是正交网B 、沿同一直母线的切平面是同一个C 、其上高斯曲率为零D 、其上没有抛物点20、以下结论正确的是_____。

A 、法曲率是法截线的曲率B 、法曲率是曲率向量r v &&在主法向量βv上的投影C 、法曲率≥0D 、法曲率的绝对值是法截线的曲率21、设曲面(,),r r u v n =v v v 是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，____是不正确的。

A 、uv M r n =⋅u u v vB 、uv M r n =-⋅u u v vC 、u v M r n =-⋅u v u u vD 、v u M r n =-⋅u v u u v22、球面上的大圆不可能是球面上的_____。

A 、测地线B 、曲率线C 、法截线D 、渐近线23、正螺面{}cos ,sin ,r u v u v bv =v 的坐标网不是_____。

A 、正交网B 、共轭网C 、渐近网D 、半测地坐标网24、曲面上每一点处的主方向_______。

A 、只有一个B 、至少两个C 、只有两个D 、也可能不存在25、下列直纹曲面中，_______是可展曲面。