《微积分几何》复习题 本科第一部分:练习题库及答案一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长)第一章1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos =36 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积⨯=a b (－1,－1,-1)、 3、过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z ＝０ 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为21131--=-=+z y x 5、计算232lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k 、6、设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)tt t e =++g i j ,求0lim(()())t t t →⋅=f g 0 .7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2t u =,t v sin =,则d d t=r(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =ϕ,2t =θ,则d (,)d tϕθ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+ 9、已知42()d (1,2,3)t t =-⎰r ,64()d (2,1,2)t t =-⎰r ,求4622()d ()d t t t t ⨯+⋅⋅=⎰⎰a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b1０.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11、已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r212t +a c 12、已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4d()d d t t ⋅=⎰f g 4cos 62-. 第二章13、曲线3()(2,,)tt t t e =r 在任意点的切向量为2(2,3,)tt e1４、曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15、曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b1６.设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===,当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x 17、设有曲线tt t e z t e y t e x ===,sin ,cos ,当0t =时的切线方程为11-==-z y x 第三章18.设(,)u v =r r 为曲面的参数表示,如果u v ⨯≠r r 0,则称参数曲面就是正则的;如果:()G G →r r 就是 一一的 ,则称参数曲面就是简单的.19、如果u -曲线族与v -曲线族处处不相切,则称相应的坐标网为 正规坐标网 、(坐标网;易;3分钟) 20、平面(,)(,,0)u v u v =r 的第一基本形式为22d d u v +,面积元为d d u v２1.悬链面(,)(cosh cos ,cosh sin ,)u v u v u v u =r 的第一类基本量就是2cosh E u =,0F =,2cosh G u = 2２、曲面z axy =上坐标曲线0x x =,0y y =223、正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一基本形式就是2222d ()d u u b v ++、 24、双曲抛物面(,)((),(),2)u v a u v b u v uv =+-r 的第一基本形式就是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++25.正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的平均曲率为 0 .(正螺面、第一基本量、第二基本量;中;3分钟) ２6.方向(d)d :d u v =就是渐近方向的充要条件就是(d)0n κ=或22d 2d d d 0L u M u v N v ++= 27.两个方向(d)d :d u v=与(δ)δ:δu v=共轭的充要条件就是(d ,δ)0=II r r 或d δ(d δd δ)d δ0L u u M u v v u N v v +++=28、函数λ就是主曲率的充要条件就是0E L F MF MG Nλλλλ--=--29、方向(d)d :d u v =就是主方向的充要条件就是d d d d 0d d d d E u F vL u M vF uG v M u N v++=++3０、根据罗德里格定理,如果方向(d)(d :d )u v =就是主方向,则d d n κ=-n r ,其中n κ就是沿(d)方向的法曲率 ３1.旋转极小曲面就是平面 或悬链面 第四章32.高斯方程就是k ij ij kij kL =Γ+∑r rn ,,1,2i j =,魏因加尔吞方程为,kj i ik i j kL g =-∑n r ,,1,2i j =33、ijg 用ij g 表示为221212111()det()ijij g g g g g g -⎛⎫=⎪-⎝⎭. ３4、测地曲率的几何意义就是曲面S 上的曲线()C 在P 点的测地曲率的绝对值等于()C 在P 点的切平面∏上的正投影曲线()C *的曲率３5、,,g n κκκ之间的关系就是222g n κκκ=+.3６、如果曲面上存在直线,则此直线的测地曲率为 0 .3７、测地线的方程为22,d d d 0,1,2d d d k i jk ij i ju u u k s s s +Γ==∑ 3８、高斯－波涅公式为1d d ()2kgii GGK s σκπαπ=∂++-=∑⎰⎰⎰３9.如果G ∂就是由测地线组成,则高斯-波涅公式为1d ()2kii GK σπαπ=+-=∑⎰⎰.二、单选题第一章40.已知(1,0,1)=--a ,(1,2,1)=-b ,则这两个向量的内积⋅a b 为( C )、(内积;易;2分钟) Ａ 2 B 1- C 0 Ｄ １41.求过点(1,1,1)P 且与向量(1,0,1)=--a 平行的直线的方程就是( Ａ )、(直线方程;易;2分钟) Ａ ⎩⎨⎧==1y z x Ｂ 1321+==-z y xC 11+==+z y xD ⎩⎨⎧==1z y x 42.已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)=-=-=a b c ,则混合积为( D ).(混合积;较易;2分钟) Ａ 2 B 1- C 1 D 2- 43、已知()(,,)ttt e t e -=r ,则(0)''r 为( A ).(导数;易;2分钟) A (１,０,1) B (－1,０,１)Ｃ (0,1,1) Ｄ (1,０,－1)44.已知()()t t λ'=r r ,λ为常数,则()t r 为( C )、(导数;易;2分钟) At λa Ｂ λa C t e λa Ｄ e λa上述a 为常向量.4５、已知(,)(,,)x y x y xy =r ,求d (1,2)r 为( D )、(微分;较易;2分钟)A (d ,d ,d 2d )x y x y +B (d d ,d d ,0)x y x y +- 第二章46、圆柱螺线(cos ,sin ,)t t t =r 的切线与z 轴( C )、(螺线、切向量、夹角;较易、2分钟) A 平行 Ｂ 垂直 C 有固定夹角4π Ｄ 有固定夹角3π 47、设有平面曲线:()C s =r r ,s 为自然参数,α,β就是曲线的基本向量、下列叙述错误的就是(C )、 Ａ α为单位向量 Ｂ ⊥αα Ｃ κ=-αβ Ｄ κ=-βα 48.直线的曲率为( B ).(曲率;易;2分钟)A –１ Ｂ 0 Ｃ １ D 249.关于平面曲线的曲率:()C s =r r 不正确的就是( D ).(伏雷内公式;较易;2分钟) Ａ()()s s κ=α Ｂ ()()s s κϕ=,ϕ为()s α的旋转角C ()s κ=-⋅αβ Ｄ ()|()|s s κ=r50、对于平面曲线,“曲率恒等于0”就是“曲线就是直线”的( Ｄ ) 、(曲率;易;２分钟) Ａ 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件Ｃ 既不充分也不必要条件 Ｄ 充要条件 ５1、下列论述不正确的就是( D ).(基本向量;易;2分钟) A α,β,γ均为单位向量 B ⊥αβ C ⊥βγ Ｄ //αβ52、对于空间曲线Ｃ,“曲率为零”就是“曲线就是直线”的( Ｄ) .(曲率;易;2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件53、对于空间曲线C ,“挠率为零”就是“曲线就是直线”的( Ｄ )、(挠率;易;2分钟) A 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 54.2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为( D )、 A 垂直 Ｂ 平行 C 成3π的角 Ｄ 成4π的角 第三章55、椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为(Ｃ )、(参数表示;易;2分钟)Ａ (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z ϕθϕθϕ= B (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b ϕθϕθϕ= C (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b c ϕθϕθϕ= D (,,)(cos cos ,sin cos ,sin 2)x y z a b c ϕθϕθθ=56、以下为单叶双曲面2222221x y z a b c+-=的参数表示的就是(Ｄ ).(参数表示;易;２分钟)Ａ (,,)(cosh sin ,cosh cos ,sinh )x y z a u v b u v u = B (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u = C (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u = D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =57.以下为双叶双曲面2222221x y z a b c+-=-的参数表示的就是(A ).(参数表示;易;２分钟)A (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u = Ｂ (,,)(cosh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u = C (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u = Ｄ (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =5８.以下为椭圆抛物面22222x y z a b+=的参数表示的就是(B ).(参数表示;易;2分钟)A 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z u v u v = Ｂ 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z au v bu v =C 2(,,)(cosh ,sinh ,)2u x y z au v bu v = D (,,)(cos ,sin ,)x y z a v b v v =5９.以下为双曲抛物面22222x y z a b-=的参数表示的就是(Ｃ )、(参数表示;易;2分钟)Ａ (,,)(cosh ,sinh ,)x y z a u b u u = Ｂ (,,)(cosh ,sinh ,)x y z u u u = C (,,)((),(),2)x y z a u v b u v uv =+- D (,,)(,,)x y z au bv u v =-60.曲面2233(,)(2,,)u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为(B ).(切平面方程;易;2分钟)Ａ 2135200x y z +-+= B 1834410x y z +--= C 756180x y z +--= D 1853160x y z +-+=61、球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R u v R u v R u =r 的第一基本形式为(D )、(第一基本形式;中;2分钟)A 2222(d sin d )R u u v + B 2222(d cosh d )R u u v +C 2222(d sinh d )R u u v + Ｄ 2222(d cos d )R u u v +62.正圆柱面(,)(cos ,sin ,)u v R v R v u =r 的第一基本形式为( C)、(第一基本形式;中;2分钟)A 22d d u v +B 22d d u v -C 222d d u R v +D 222d d u R v -63、在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上,方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为(B ).(弧长;中;２分钟)Ａ 21cosh cosh v v - Ｂ 21sinh sinh v v - Ｃ 12cosh cosh v v - D 12sinh sinh v v -64.设M 为3R 中的２维2C 正则曲面,则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件就是( B)、Ａ 0E = B 0F = C 0G = D 0M = ６5、以下正确的就是( Ｄ)、(魏因加尔吞变换;较易;２分钟)Ａ d (d )=n r B d (d )u =n rC d (d )u v =n r D d (d )=-n r6６.以下正确的就是( Ｃ)、(魏因加尔吞变换;较易;２分钟) A (d ,(δ))(d ,δ)=-I r r II r r B (d ,(δ))((δ),d )=-I r r I r r C (d ,(δ))((d ),δ)=I r r I r r Ｄ (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r６7.以下正确的就是(A).(魏因加尔吞变换;较易;2分钟) Ａ (d ,(δ))(d ,δ)=I r r II r r B (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r C (d ,(δ))((d ),δ)=-I r r I r r D (d ,(δ))((d ),δ)=II r r II r r68、高斯曲率为常数的的曲面叫(Ｃ ).(高斯曲率;易;2分钟)A 极小曲面B 球面C 常高斯曲率曲面D 平面 第四章 Ｂ ６9、,___________ijji i jgg =∑、(第一基本形式;易;2分钟)Ａ 1 B ２ C 0 D -1 B ７0、______j kjl jgδ=∑、(第一基本形式;易;２分钟)A kj gB kl g Ｃ ki g D ij gA ７１.________kij Γ=、(克氏符号;较易;２分钟)Ａ1()2jl ijkl il j il i g g g g u u u ∂∂∂+-∂∂∂∑ B 1()2jl ijkl il j il i g g g g u u u ∂∂∂--∂∂∂∑ C 1()2jl ijkl il j il i g g g g u u u ∂∂∂++∂∂∂∑ Ｄ 1()2jl ijkl il j i l ig g g g u u u ∂∂∂-+∂∂∂∑ A 72.曲面上直线(如果有的话)的测地曲率等于_____、A 0 Ｂ 1 C 2 Ｄ 3B 73.当参数曲线构成正交网时,参数曲线u-曲线的测地曲率为_____、(刘维尔定理、测地曲率;中;4分钟)ABC ＤＡ 74、如果测地线同时为渐进线,则它必为_____、(测地曲率、法曲率、曲率;中;２分钟) A 直线 Ｂ 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线B ７5、在伪球面(1)K ≡-上,任何测地三角形的内角之与____、(高斯-波涅定理;中;4分钟)A 等于πB 小于πC 大于πD 不能确定三、多选题第一章76、若()((),(),()),1,2,3i i i i t x t y t z t i ==r 为向量函数,则下列论述正确的就是( ＡD ) .(导数;易;4分钟)Ａ 1111()((),(),())t x t y t z t ''''=r Ｂ 1111111111()((),(),())((),(),())((),(),())t x t y t z t x t y t z t x t y t z t ''''=++r C 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''''=r r r r r r Ｄ 123((),(),())t t t 'r r r 123123123((),(),())((),(),())((),(),())t t t t t t t t t '''=++r r r r r r r r r Ｅ 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''=r r r r r r７7.m,n 为常向量,()t r 为向量函数,则下述正确的就是( ABC )、(积分的性质;中;4分钟)Ａ()d ()d bbaat t t t ⋅=⋅⎰⎰m r m r Ｂ ()d ()d bbaat t t t ⨯=⨯⎰⎰m r m rＣ(,,())d ()()d bbaat t t t =⨯⎰⎰m n r m n r D (,,())d ()()d bbaat t t t =⋅⎰⎰m n r m n rＥ(,,())d ()()d bbaat t t t =⨯⨯⎰⎰m n r m n r第二章78、下列曲线中为正则曲线的有(A ＣＤＥ)。