§2 无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。

教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。

教学内容：本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质由定义知道，无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f ua⎰在u →+∞时是否存在极限。

因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。

定理11.1 无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰。

证明: 由于()lim au f x dx +∞→+∞=⎰()dx x f ua⎰=(),lim u F u →+∞所以()dx x f a⎰+∞收敛⇔()lim u F u →+∞存在⇔0,G ε∀>∃≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有()()()221121|()()|.u u u u aaf x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-<⎰⎰⎰此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。

性质1 (线性性质) 若()dx x f a⎰+∞1与()dx x f a⎰+∞2都收敛，k 1、k 2为任意常数，则()()[]dx x f k x f k a⎰+∞+2211 也收敛，且()()[]dx x f k x f k a ⎰+∞+2211=()()dx x f k dx x f k aa⎰⎰+∞+∞+2211。

（1）证明: 记()()111lim u aau J f x dx f x dx +∞→+∞==⎰⎰, ()()222lim uaau J f x dx f x dx +∞→+∞==⎰⎰,则()()[]dx x f k x f k a⎰+∞+2211=()()1122lim uau k f x k f x dx →+∞+⎡⎤⎣⎦⎰=1122[()()]lim uuaau k f x dx k f x dx →+∞+⎰⎰=1122()()lim lim uuaau u k f x dx k f x dx →+∞→+∞+⎰⎰=1122k J k J +=1122()().aak f x dx k f x dx +∞+∞+⎰⎰□性质2 若f 在任何有限区间[a ，u]上可积，a ＜b ，则()dx x f a⎰+∞与()dx x f b⎰+∞同敛态（即同时收敛或同时发散），且有()()()dx x f dx x f dx x f bb aa⎰⎰⎰+∞+∞+=， （2）其中右边第一项是定积分。

证明: 由于()dx x f a⎰+∞收敛⇔()lim uau f x dx →+∞⎰存在.又()lim uau f x dx →+∞⎰=()()()lim b u abu f x dx f x dx →+∞+⎰⎰=()()lim buabu f x dx f x dx →+∞+⎰⎰, 其中右边第一项是定积分。

所以()dx x f a⎰+∞与()dx x f b⎰+∞同敛态（即同时收敛或同时发散），且有()()()dx x f dx x f dx x f bb aa⎰⎰⎰+∞+∞+=. □说明: (1) 性质2相当于定积分的积分区间可加性;(2) 由性质2及无穷积分的收敛定义可推出()dx x f a⎰+∞收敛的另一充要条件: 任给ε＞0，存在G ≥a ，当u ＞G 时，总有()uf x dx ε+∞<⎰。

事实上，()dx x f a⎰+∞收敛⇔J=()lim u au f x dx →+∞⎰存在⇔0,,G a ε∀>∃≥ 当u G >时,()ua f x dx Jε-<⎰⇔0,,G a ε∀>∃≥ 当u G >时,()()()()u uaauf x dx f x dx f x dx ε+∞-+<⎰⎰⎰⇔0,,G a ε∀>∃≥ 当u G >时,()uf x dx ε+∞<⎰性质3 若f 在任何有限区间[a ，u] 上可积，且有()dx x f a⎰+∞收敛，则()dx x f a⎰+∞亦必收敛，并有()dx x f a⎰+∞≤()dx x f a⎰+∞。

（3）证明: 由()dx x f a⎰+∞收敛，根据柯西准则（必要性），任给ε＞0，存在G ≥a ，当u 2＞u 1＞G 时，总有()()2211||,u u u u f x dx f x dx ε=<⎰⎰利用定积分的绝对值不等式，又有()21u u f x dx ≤⎰()21u u f x dx ε<⎰.再由柯西准则（充分性），证得()dx x f a⎰+∞收敛又因()()()u uaaf x dx f x dx u a ≤>⎰⎰，令u →+∞取极限，立刻得到不等式(3). □当()dx x f a⎰+∞收敛时，称()dx x f a⎰+∞为绝对收敛, 称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。

性质3指出：绝对收敛⇒收敛。

但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛(本节例3中当0＜p ≤1时dx x xp⎰+∞1sin 条件收敛)。

二 比较判别法这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法(比较准则及其三个推论)。

由于()⎰uadx x f 关于上限u 是单调递增的，因此()dx x f a⎰+∞收敛的充要条件是()⎰uadx x f 存在上界。

根据这一分析，便立即导出下述比较判别法（请读者自己写出证明）：定理11.2（比较法则）设定义在[a ，+∞]上的两个函数f 和g 都在任何有限区G(u)间[a ，u] 可积，且满足()()),[,+∞∈≤a x x g x f ，则当()ag x dx +∞⎰收敛时()dx x f a⎰+∞必收敛（或者，当()dx x f a⎰+∞发散时，()ag x dx +∞⎰发散）。

证明 法一[ 根据P 55 习题2结论: 设f 为定义在[,)a +∞上的增(减)函数. 则()lim x f x →+∞存在的充要条件为f 在[,)a +∞上有上(下)界 ]. 当()ag x dx +∞⎰收敛时,()()lim lim uau u g x dx G u →+∞→+∞=⎰存在. 又G(u)单增, 从而存在M>0, 使得F(u)=()()(),[,),uu aaf x dxg x dx G u M u a ≤=≤∀∈+∞⎰⎰即F(u)有上界M. 又显然F(u)单增. 故|()|()lim lim uau u f x dx F u →+∞→+∞=⎰存在, 从而()dx x f a⎰+∞必收敛.法二 由于()ag x dx +∞⎰收敛, 根据柯西准则（必要性）, 对任意0,ε>存在G ≥a ，当u 2＞u 1＞G 时，总有()21.u u g x dx ε<⎰又()||(),[,).f x g x x a ≤∀∈+∞ 因此有()()2211||.u u u u f x dx g x dx ε≤<⎰⎰根据柯西准则（充分性）,|()|af x dx +∞⎰收敛. □例1 讨论dx x x⎰+∞+021sin 的收敛性。

解 由于21sin x x +≤211x +，x ∈[0,)+∞，以及2102π=+⎰+∞xdx 为收敛（§1例4），根据比较法则，dx xx⎰+∞+021sin 为绝对收敛。

□ 上述比较法极限形式如下：推论1若f 和g 都在任何[a ，u]上可积，g(x)＞0, 且()(),lim x f x c g x →+∞=，则有（ⅰ）当0＜c ＜+∞时，()dx x f a⎰+∞与()ag x dx +∞⎰同敛态；（ⅱ）当c=0时，由()ag x dx +∞⎰收敛可推知()dx x f a⎰+∞也收敛； （ⅲ）当c=+∞时，由()ag x dx +∞⎰发散可推知()dx x f a⎰+∞也发散。

证明 (i)()(),(0,).limx f x c c g x →+∞=∈+∞ 对0,,2cM a ε=∃>当x M >时, |()|||,()2f x c c g x -< 即|()|3,2()2c f x cg x << 从而由比较法则结合性质2知,()dx x f a⎰+∞与()ag x dx +∞⎰同敛态.(ii) 由()()0,lim x f x g x →+∞=对0,,M a ε∀>∃>当x M >时,|()|,()f xg x ε<从而|()|(),f x g x ε< 从而由比较法则结合性质2知, 由()ag x dx +∞⎰收敛可推知()dx x f a⎰+∞也收敛.(iii) 由()(),lim x f x g x →+∞=+∞对0,,G M a ∀>∃≥当x M >时,|()|,()f x Gg x ≥从而|()|(),f x Gg x ≥ 从而由比较法则结合性质2知, 由()ag x dx +∞⎰发散可推知()dx x f a⎰+∞也发散. □当选用p adxx+∞⎰作为比较对象()a g x dx +∞⎰时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论（称为柯西判别法）。

推论2 设f 定义于[,)a +∞(a ＞0)，且在任何有限区间[a ，u]上可积，则有： （ⅰ）当()p xx f 1≤，x ∈[,)a +∞，且p ＞1时()dx x f a ⎰+∞收敛； （ⅱ）当()p xx f 1≥，x ∈[,)a +∞，且p ≤1时()dx x f a ⎰+∞发散。

推论3 设f 定义于[,)a +∞，在任何有限区间[a ，u]上可积，且()lim px xf x λ→+∞=,则有：（ⅰ）当p ＞1，0≤λ＜+∞时，()dx x f a ⎰+∞收敛； （ⅱ）当p ≤1，0＜λ≤+∞时，()dx x f a⎰+∞发散。

例2 讨论下列无穷限积分的收敛性： 1）1xx e dx α+∞-⎰； 2）20+∞⎰.解 本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事。

1）由于对任何实数α都有220lim lim xx x x x xx eeαα+-→+∞→+∞⋅==. 因此根据上述推论3（P=2，λ=0），推知1）对任何实数α都是收敛的。

2）由于122lim x x→+∞=1，因此根据上述推论3（P=21，λ=1），推知2）是发散的。