且 ∫a
+∞
f ( x )dx ， ∫a
2
+∞
1 dx 收敛， 收敛， 2 x
由比较判别知
故
∫a
+∞
f ( x) | | dx 收敛， 收敛， x
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛。 收敛。 x
数学分析 3、一般函数反常积分的收敛判别法
8.2.4（积分第二中值定理） b 定理 8.2.4（积分第二中值定理） 设 f ( x)在[a, ]上可 b 上单调， 积， g( x)在[a, ]上单调，则存在ξ ∈ [a ,b]，使得
+∞
+∞ +∞
f ( x )dx 收敛； 收敛； f ( x )dx 发散。 发散。
例 8.2.3
解
的敛散性（ 讨论 ∫0 x a e − x dx 的敛散性（ a ∈ R ）。
因为对任意常数 a ∈ R ，有 lim x 2 ( x a e − x ) = 0 ，
x → +∞
+∞
判别法的极限形式（ ），可知 收敛。 由 Cauchy 判别法的极限形式（1），可知 ∫0 x a e − x dx 收敛。
即 ∫a
+∞
f ( x ) dx = 2 ∫a ϕ ( x ) dx −
+∞
∫a
+∞
f ( x ) dx , 收敛 收敛.
数学分析 例1 设 ∫a f ( x )dx 收敛，证明 收敛，
2 +∞
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛（a>0）。 收敛（ ） x
f ( x) 1 1 |≤ [ 2 + f 2 ( x )] 证 Q | x 2 x
虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必 要条件，但是对于具体的反常积分， 要条件，但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困 因此需要导出一些便于使用的收敛判别法。 难，因此需要导出一些便于使用的收敛判别法。
1、非负函数反常积分的收敛判别法
定理 8.2.2（比较判别法） 设在[a , )上恒有 8.2.2（比较判别法） +∞ 是正常数。 0 ≤ f ( x) ≤ Kϕ( x )，其中 K 是正常数。则
a a a
于是
∫a f ( x ) g( x )dx = g(b)∫a f ( x )dx − [ g(b) − g(a )]∫a f ( x )dx b ξ = g (a )∫a f ( x )dx + g (b ) ∫ξ f ( x )dx。
b b
ξ
数学分析
8.2.4 的假设下，还有如下结论： 注记 在定理 8.2.4 的假设下，还有如下结论： b 上单调增加， （1）若 g( x )在[a , ]上单调增加，且 g( a ) ≥ 0 ，则存 在ξ ∈ [a , b]，使得
3 2
讨论 ∫1
+∞
cos 2 x sin x
dx 的敛散性（ a 是常数）。 的敛散性（ 是常数）
注 记 ： 在 以 上 定 理 中 ， 条 件 “ 在 [a , ∞ ) 上 恒 有 + 可以放宽为“ 0 ≤ f ( x ) ≤ Kϕ( x )”，可以放宽为“存在 A ≥ a ，在[ A, ∞ ) + 上恒有0 ≤ f ( x ) ≤ Kϕ( x )”。
+∞
f ( x ) dx 收敛 ， 所以存在 收敛，
A0 ≥ a ，使得对任意 A, A′ ≥ A0 ，成立 利用定积分的性质， 利用定积分的性质，得到
∫A
A′
f ( x ) dx < ε 。
∫A
A′
f ( x x < ε ，
+∞
收敛原理， 由 Cauchy 收敛原理，可知 ∫a
∫a f ( x )g( x )dx
b
= g( b)∫ξ f ( x )dx ；
定理 8.2.1（Cauchy 收敛原理） 反常积分 ∫a 8.2.1（ 收敛原理）
f ( x )dx 收敛
的充分必要条件是： 的充分必要条件是：对任意给定的ε > 0 ，存在 A0 ≥ a ，使得 对任意 A, A′ ≥ A0 ，有
∫A
A′
f ( x )dx < ε 。
数学分析
二、无穷区间形式 无穷区间形式
∫a f ( x ) g( x )dx = g(a )∫a f ( x )dx + g(b)∫ξ
b
ξ
b
f ( x )dx 。
b 上连续， b 证 我们只对 f ( x )在[a , ]上连续， g( x )在[a , ]上单调且 b 上可积的情况加以证明。 g ′( x ) 在[a , ]上可积的情况加以证明。
+∞
f ( x )dx 收敛而非绝对收敛， 则称 ∫a 收敛而非绝对收敛，
f ( x )dx
∴ ∫ ϕ ( x )dx 也收敛 .
a
b b a a
+∞
∫
a
又 f ( x ) = 2ϕ ( x ) − f ( x ) ,
b a
∴ ∫ f ( x )dx = 2 ∫ ϕ ( x )dx − ∫ f ( x ) dx ,
) （1） 当 ∫a ϕ( x)dx 收敛时 ∫a
（2） 当 ∫a
+∞
+∞
+∞
f ( x)dx 也收敛； 也收敛；
f ( x)dx 发散时 ∫a ϕ( x)dx 也发散。 ) 也发散。
+∞
数学分析
例 8.2.1
x +a 因为当 解 因为当 x ≥ 1时有 cos 2 x sin x 1 ≤ ， 3 2 x x x +a +∞ + ∞ cos 2 x sin x 1 dx 收敛，由比较判别法， ∫1 dx 绝 收敛，由比较判别法， 已知 ∫1 3 2 x x x +a + ∞ cos 2 x sin x 对收敛， dx 收敛。 收敛。 对收敛，所以 ∫1 3 2 x +a
即
数学分析
f ( x ) < ( l + 1) ( x )。 ϕ
+∞
于是，由比较判别法， 于是，由比较判别法，当 ∫a ϕ( x)dx 收敛时 ∫a )
+∞
f ( x )dx 也收敛。 也收敛。
f ( x) ⑵ 若 lim = l > 0 ，存在常数 A ≥ a ，使得当 x ≥ A 时成立 x → +∞ ϕ ( x ) f( x) 可取任意正数） > l ′ ，其中0 < l ′ < l （当 l = +∞ 时， l ′ 可取任意正数） ϕ( x )
+∞
+∞
+∞
+∞
f ( x )dx 也收敛； 也收敛；
也发散。 f ( x )dx 也发散。
+∞
+∞
f ( x )dx 同时收敛
f( x) 证 ⑴ 若 lim = l < +∞ ，则存在常数 A ≥ a ， x → +∞ ϕ( x ) f( x) 当 x ≥ A 时成立 < l + 1， ϕ( x )
即
f ( x ) > l ′ϕ( x )。
于是，由比较判别法， ) 于是，由比较判别法，当 ∫a ϕ( x)dx 发散时 ∫a
+∞
+∞
f ( x )dx 也发散。 也发散。
数学分析
例 8.2.2
解 因为
3
x → +∞ 3
讨论 ∫1
+∞ 3
dx 的敛散性。 的敛散性。 x + 3x + 5x + 2x − 1
+∞
条件收敛（ 条件收敛（或称 f ( x )在[a , )上条件可积）。 +∞ 条件可积）。
推论 若反常积分 ∫a f ( x )dx 绝对收敛，则它一定收敛。 绝对收敛，则它一定收敛。 1 证2 令 ϕ ( x ) = ( f ( x ) + f ( x ) ). +∞ 2 f ( x )dx 收敛 , Q ϕ ( x ) ≥ 0，且 ϕ ( x ) ≤ f ( x ) ,
4 3 2
1
由于 ∫1
+∞ 3
x + 3x + 5x + 2x − 1 +∞ 1 1 收敛， 收敛。 dx 收敛，所以 ∫1 3 4 dx 收敛。 4 3 2 x x + 3x + 5x + 2x − 1
4 3 2
lim
x4
= 1，
1 判别法： 将定理 8.2.2 中的ϕ( x )取为 p ，就得到如下的 Cauchy 判别法： x 8.2.3（ 判别法） 定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[a ,+ ∞ ) ⊂ ( 0,+ ∞ ) 上恒有 f ( x ) ≥ 0 ， K 是正常数。 是正常数。 +∞ K 收敛； ⑴ 若 f ( x ) ≤ p ，且 p > 1，则 ∫a f ( x )dx 收敛； x +∞ K 发散。 ⑵ 若 f ( x ) ≥ p ，且 p ≤ 1，则 ∫a f ( x )dx 发散。 x
数学分析
推论（ 判别法的极限形式） 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[a , ∞)⊂ ( 0,+ ∞ ) 上 + 恒有 f ( x ) ≥ 0 ，且 p lim x f ( x ) = l ，
x → +∞
则 （1）若 0 ≤ l < +∞ ，且 p > 1，则 ∫a （2）若 0 < l ≤ +∞ ，且 p ≤ 1，则 ∫a