习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+a dx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。

解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。

则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+a dx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时⎰∞+adx x )(ϕ也发散。

证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：Kdx x A A εϕ<⎰')(。

于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(。

于是≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散。

（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ。

则当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散。

例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。

显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散。

设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且+∞=+∞→)()(limx x f x ϕ。

则当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ也收敛；但当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能发散，也可能收敛。

例如xx f 1)(=，)21(1)(>=p xx p ϕ，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ϕ。

显然有 ⎰∞+1)(dx x f 发散，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当121≤<p 时发散，当1>p 时收敛。

⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）。

证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数。

⑴ 若f x Kxp ()≤，且p >1，则⎰∞+a dx x f )(收敛；⑵ 若f x Kxp ()≥，且p ≤1，则⎰∞+a dx x f )(发散。

推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞⊂+∞(,)0上恒有f x ()≥0，且lim ()x p x f x l →+∞=，则⑴ 若0≤<+∞l ，且p >1，则⎰∞+a dx x f )(收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则⎰∞+adx x f )(发散。

证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ϕ取为p x1。

⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴11321x ex dx x-++-+∞⎰ln ; ⑵⎰∞++131tan arc dx x x;⑶110++∞⎰x x dx |sin |;⑷x x dxq p11++∞⎰（+∈R q p ,）. 解 （1）当+∞→x 时，1ln 123++--x ex x～231x ，所以积分11321x e x dx x -++-+∞⎰ln 收敛。

（2）当+∞→x 时，31arctan x x +～32xπ， 所以积分⎰∞++131tan arc dx x x收敛。

（3）因为当0≥x 时有xx x +≥+11sin 11，而积分dx x⎰∞++011发散，所以积分110++∞⎰x x dx |sin |发散。

（4）当+∞→x 时，pqxx +1～q p x -1， 所以在1>-q p 时，积分x x dx qp11++∞⎰收敛，在其余情况下积分 x x dx qp11++∞⎰发散。

⒋ 证明：对非负函数f x ()，)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛与f x dx ()-∞+∞⎰收敛是等价的。

证 显然，由f x dx ()-∞+∞⎰收敛可推出)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛，现证明当0)(≥x f 时可由)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛推出f x dx ()-∞+∞⎰收敛。

由于)cpv (f x dx ()-∞+∞⎰收敛，可知极限+∞→A lim =)(A F +∞→A lim⎰-AA dx x f )( 存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，0>∀ε，00A ∃>，0,A A A ≥'∀：ε<-)'()(A F A F ，于是0,A A A ≥'∀与0',A B B ≥∀，成立≤⎰'A Adx x f )(ε<-)'()(A F A F与≤⎰--BB dx x f ')(ε<-)'()(B F B F ，这说明积分⎰∞+0)(dx x f 与⎰∞-0)(dx x f 都收敛，所以积分f x dx ()-∞+∞⎰收敛。

⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：⑴ln ln ln sin x x xdx 2+∞⎰; ⑵ sin x x dx p 1+∞⎰（+∈R p ）;⑶ ⎰∞+1tan arc sin dx xx x p（+∈R p ）; ⑷ sin()x dx 20+∞⎰; ⑸ ⎰∞+an mxdx x q x p sin )()( （p x m ()和q x n ()分别是m 和n 次多项式， q x n ()在),[+∞∈a x 范围无零点。

） 解 （1）因为⎰=Axdx A F 2sin )(有界，x x ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim =+∞→xxx ，由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰收敛； 由于≥x x x sin ln ln ln x x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x xx-=，而积分 ⎰∞+2ln ln ln dx x x 发散，⎰∞+22cos ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分⎰∞+2sin ln ln ln dx x xx 发散，即积分ln ln ln sin xxxdx 2+∞⎰条件收敛。

（2）当1>p 时，p px x x 1sin ≤，而⎰∞+11dx xp 收敛，所以当1>p 时积分 sin xxdx p 1+∞⎰绝对收敛； 当10≤<p 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，px 1在),1[+∞单调，且01lim=+∞→px x ，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p 1+∞⎰收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1|sin |dx x x p发散，所以当10≤<p 时积分sin xx dx p1+∞⎰条件收敛。

（3）当1>p 时，≤px xx arctan sin px 2π，而⎰∞+11dx xp 收敛，所以当1>p 时积分⎰∞+1tan arc sin dx xxx p绝对收敛； 当10≤<p 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，pxxarctan 在),1[+∞单调，且0arctan lim=+∞→p x x x ，由Dirichlet 判别法，积分⎰∞+1arctan sin dx x xx p 收敛；但因为当10≤<p 时积分⎰∞+1sin arctan dx x xxp发散，所以当10≤<p 时积分 ⎰∞+1arctan sindx xxx p条件收敛。

（4）令2x t =，=⎰∞+02)sin(dx x ⎰∞+02sin dt tt ，由于⎰∞+02sin dt tt 条件收敛，可知积分sin()x dx 20+∞⎰条件收敛。

（5）当1+>m n 且x 充分大时，有x x q x p n m sin )()(2xK≤，可知当1+>m n 时积分⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(绝对收敛。

当1+=m n 时，因为⎰=Axdx A F 1sin )(有界，且当x 充分大时，)()(x q x p n m 单调且0)()(lim =+∞→x q x p n m x ，由Dirichlet 判别法可知⎰∞+a nmxdx x q x p sin )()(收敛；但由于当+∞→x 时，)()(x q x p n m ～x a ，易知⎰∞+1sin )()(dx x x q x p n m 发散，所以当1+=m n 时，积分⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(条件收敛。

当1+<m n 时，由A x q x p n m x =+∞→)()(lim，A 为非零常数、∞+或∞-，易知积分⎰∞+an m xdx x q x p sin )()(发散。

⒍ 设f x ()在[,]a b 只有一个奇点x b =，证明定理8.2.'3和定理8.2.'5。

定理8.2.'3（Cauchy 判别法） 设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，若当x 属于b 的某个左邻域[,)b b -η0时，存在正常数K ，使得⑴ f x K b x p()()≤-，且p <1，则f x dx ab()⎰收敛； ⑵ f x K b x p()()≥-，且p ≥1，则f x dx a b()⎰发散。

证 （1）当p <1时，积分⎰-bapdx x b )(1收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>∀ε，0>∃δ，),0(',δηη∈∀：K dx x b b b pεηη<-⎰--')(1。

由于≤⎰--')(ηηb b dx x f εηη<-⎰--')(b b pdx x b K，所以f x dx a b ()⎰收敛。