f (x)
1
(t
t
2
)
sin
2n
tdt
1
(t
t2
)t 2ndt
1
，x 0。
0
0
(2n 2)(2n 3)
7．（本题满分 8 分）证明：显然 f (x) x 1 。由 Lagrange 中值定理得 x2
f
(b)
f
(a)
2
1
(b
a)
0，1
a
b。
为证明右面的不等式，考察函数 g(x) x 1 。易知 g(x) 2 x ，令 g(x) 0
(2 )x1 2x2 2x3 1,
2x1 (5 )x2 4x3 2,
2x1
4x2 (5 )x3 1
有唯一解、无穷多解、无解？请说明理由。
5
5．（本题满分
10
分）设
A
2 0
0 0
0 1
，
B
1 0
0 1
0 0
。
0 1 0
0 6 2
（1）求 A 的特征值和特征向量；
（2）问 A 是否相似于对角矩阵？若是，求正交矩阵 S ，使得 S T AS 为对角矩阵；
（3）问 A 和 B 是否相似？请说明理由。
6
6．（本题满分 9 分）设 f (x)
x
(t
t
2
)
sin
2n
tdt
（
n
是正整数），证明：当
x
0
时成
0
立
f (x)
1
。
(2n 2)(2n 3)
7
7．（本题满分 8 分）设1 a b ， f (x) 1 ln x ，证明 x
题
2
ห้องสมุดไป่ตู้
）
4．（本题满分 9 分）
当 1且 10 时，方程组有唯一解；
当 10时，方程组无解；
当 1时，方程组有无穷多解。
5．（本题满分
10
分）（1）A
的特征值为
2
，1，
1。对应于
2
的特征向量为
1 c 0
，
0
对应于
1
的特征向量为
0 c 1
，对应于
1的特征向量为
c
0 1
复旦大学数学科学学院 2011～2012 学年第一学期期末考试试卷
A卷
数学科学学院
（
1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）计算下列各题：
装
（1）求曲线 e2xy cos(xy) e 1在点 (0, 1) 处的切线方程；
订
线
内
不
要
答
题
）
1
（2）求极限 lim x ； ln(x31) x
1
（3）设函数 f (x) ax3 bx2 cx 2 在 x 1点取极小值 0，且该函数的图像以 (0, 2) 为 拐点，求 a ， b ， c 的值。
0 f (b) f (a) 1 (b a) 。 4
。
8
复旦大学数学科学学院 2011～2012 学年第一学期期末考试试卷
《高等数学 A》（上）试题（答案）
1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）（1） y 2x 1 0 ；（2） 3 e ；
（3） a
1，b
0，c
3；（4）
1 (1
（4）设一元函数
f
满足 xf (x)dx
arcsin
x C （ C 是任意常数），求
1 dx ； f (x)
（5）求定积分 ( 1 cos 2x | x | sin 3 x)dx ；
2
（6）若 lim x a x a xe2xdx ，求常数 a ；
x x a
（7）已知 a1 (2, 4,0) ，a2 (2, 1,1) ，a3 (4, 1, t) ，问 t 为何值时，a1 ，a2 ，a3 线 性相关？
3
2．（本题满分 8 分）求点 (0, 1) 到曲线 y x2 x 的最短距离。
3．（本题满分
8
分）求曲线
y
lim
n
6 x(e nx (1
sin enx )（ x 2 )e3nx
x
(,
) ）与两条直线
y
1 2
x
和 x 1所围平面图形的面积。
4
4．（本题满分 9 分）问 为何值时，线性方程组
（8）已知 R 3 中的两组基为 a1 (1, 1, 1)T ， a2 (1, 1, 1)T ， a3 (1, 1, 1)T ，
和 b1 (1, 1, 1)T ， b2 (0, 1, 1)T ， b3 (0, 0, 1)T ，
求从基{ a1 ， a2 ， a3 }到基{ b1 ， b2 ， b3 }的过渡矩阵。
（
c
为任意非零常
1
1
数）；
1 0
0
2 0 0
（2）
S
0
1/
2
1/
2
，
S
T
AS
0
1
0
。
0 1/ 2 1/ 2
0 0 1
（3） A 与 B 相似。
6．（本题满分 9 分）证明：由于 f (x) (x x2 )sin 2n x ，则当 0 x 1时 f (x) 0 ，
当 x 1时 f (x) 0 ，因此 f 在 x 1点取[0, ) 上的最大值。于是
x2
x3
得驻点 x 2 。因为当1 x 2 时 g(x) 0 ；当 x 2 时 g(x) 0 ，所以 g(2) 1 为 4
极大值，且它是 g(x) 在 (1, ) 上的唯一极值，因此也是最大值，即
于是
g(x) x 1 1 ， x (1, ) 。 x2 4
f (b) f (a) 1 (b a) 1 (b a) 。
2
4
3
x2)2
C
；（5） 4
2 ；（6） 5 ；
3
2
（7）
9 5
；（8）
1 2
2 2 2
1 1 2
0 1
。
1
（ 装
2．（本题满分 8 分） 5 。 4
订
线
0,
x 0,
内 不
3．（本题满分
8
分）即求曲线
y
x 1 x 2
,
与两条直线 y 1 x 和 x 1所围
x0
2
要
答
平面图形的面积。答案： 1 ln 2 。