2009年复旦大学自主招生考试数学试题选择题：（每题5分，共160分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．若0,01x y a b >><<<，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．a b x y >；B ．a b x y <；C ．x y a b >；D ．x y a b <．2．设0,1a a >≠，函数()1log 1axf x x-=+在()1,+∞上单调递减，则()f x （ ） A ．在(),1-∞-上单调递减，在()1,1-上单调递增； B ．在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减；C ．在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递增；D ．在(),1-∞-上单调递减，在()1,1-上单调递减．3．若要求关于x 的函数2112lg log 2ax bx y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域是(),-∞+∞，则a 、b 的取值范围是（ ） A ．∅； B ．0a <； C ．240b a -<； D ．0a b ==．4．设Q是有理数集，集合{},,0X x x a a b Q x Q x ==+∈∈≠、，在下列集合(1){}2x x X ∈；(2)X ⎫∈⎬⎭；(3)1x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；(4){}2x x X ∈中，与X 相同的集合有（ ）A ．4个；B ．3个；C ．2个；D ．1个．5．设0x y z >、、，且12xyz y z ++=，则422log log log x y z ++的最大值是（ ）A ．3；B ．4；C ．5；D ．6．6．定义全集X 的子集A 的特征函数为()1,,0,,A X x A f x x A ∈⎧=⎨∈⎩这里XA CxA 表示A 在X 中的补集，那么对A 、B X ．下列命题中不正确的是（ ）A ．()()AB A B f x f x ⊂⇔≤，任意x X ∈；B ．()()1X A A f x f x =-，任意x X ∈；C ．()()()A B A B f x f x f x =∩，任意x X ∈；D ．()()()A B A B f x f x f x =+∪，任意x X ∈．7．如果一个函数()f x 在其定义域内对任意x 、y 一都满足()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≤，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1) ()2x f x =；(2) ()3f x x = ；(3) ()()2log 0f x x x =>；（4）(),0,2,0x x f x x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩≥，下凸函数有（ ） A ．(1)、(2)； B ．(2)、(3)； C ．(3)、(4)； D ．(1)、(4) ．8．若实数x 满足对任意正数0a >，均有21x a <+，则x 的取值范围是（ ）A ．()1,1-；B ．[]1,1-；C ．()1,1a a -++； D ．不能确定．9．设函数210xy =的图像是曲线C ，曲线C 1和C 关于直线1x =对称，曲线C 2和C 1关于直线y x =对称，则C 2是下列哪个函数的图像？（ ）A ．12lg y x =-；B ．22lg y x =-；C ．2lg 1y x =+；D ．2lg 2y x =+．10．下列曲线中哪一条拿住两端拉直后不打结？（ ）11．用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？（ ）A ．2种；B ．3种；C ．4种；D ．5种．12．一个菱形的边长与其内切圆的直径之比为():11k k >，则这个菱形的一个小于2π的内角等于（ ）A ．(2arctan 1k k -；B ．21k -C ．21k k --； D ．21k -13．设a 、b 是实常数，则二元一次方程组1,2ax by x y a b +=⎧⎨-=--⎩无解的充分必要条件是（ ）A ．20a b +=且1a ≠±；B ．20a b +=且1a b +≠-；C ．1,2a b ==-或1,2a b =-=；D ．20a b +=．14．已知关于x 的方程23sin 2cos 2xx a +=在区间()0,2π内有两个不同的根，则常数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3-；B ．()1,2-∪()2,3；C ．[]1,3-；D ．[)1,2-∪(]2,3．15．设{}0,1,2,,9X =⋅⋅⋅，定义X 上的运算⊕如下：刘任意,m n X ∈，m n ⊕等于m n +除以10的余数，给定初值0x X ∈，记100n n n =⊕，10,1k k n n n k -=⊕=，2，3，…，则使得数列{}k n 取遍X 中所有元素的初值0n 的集合是（ ）A ．∅；B ．X ；C ．{}1,3,9；D ．{}1,3,7,9．16．“要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[],a b 内就可以了．”这句话的意思是（ ）A ．如果()0f x ≥，那么x [],a b ；B ．如果x ∈[],a b ，那么()0f x <；C ．如果x[],a b ，那么()0f x ≥； D ．前面三个解释都不正确．17．实轴R 中的集合X 如果满足：任意非空开区间都含有X 中的点，则称X 在R 中稠密．那么“R 中的集合X 在R 中不稠密”的充分必要条件是（ ）A ．任意非空开区间都不含X 中的点；B ．存在非空开区间不含有X 中的点；C ．任意非空开区间都含有X 的补集中的点；D ．存在非空开区间含有X 的补集中的点． 18．某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为12，现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（ ）A ．3964； B ．2564； C ．3164； D ．2964．19．设有1n +个不同颜色的球，放人n 个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有（ ）A ．()1!n +种；B ．()1!n n +种；C ．()11!2n +种； D ． ()112n n +!种． 20．设X 是含()2n n >个元素的集合，A 、B 是X 中的两个互不相交的子集，分别含有m 、k ()1,1,m k m k n +≥≥≤个元素，则X 中既不包含A 也不包含B 的子集的个数是（ ） A ．222n m n k n m k ----+-； B ．2n m k --；C ．2222n n m n k n m k ------+；D ．12222n n m n k n m k +------+．21．已知三菱柱111ABC A B C -的底是边长为1的正三角形，高11AA =，在AB 上取一点P ，设11PA C ∆与底面所成的二面角为α，11PB C ∆与底面所成的二面角为β，则()tan αβ+的最小值是（ ）A ．33-； B ．63-； C ．83-； D ．53-． 22．半径为R 的球内部装有4个半径都为r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是（ ）A ．323R +； B ．636R +； C ．13R +； D ．525R +．23．已知平面上三条直线220x y -+=，20x -=，0x ky +=如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k 可能的取值情况是（ ）A ．只有唯一值；B ．可取两个不同值；C ．可取三个不同值；D ．可取无穷多个值．24．设ABC ∆三条边之比::3:2:4AB BC CA =，已知顶点A(0，0)，B(a ，b )，则顶点C 的坐标一定是（ ）A ．715715,6666a b b a ⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭； B ．715715,8888a b b a ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭； C ．715715,66a b b a ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭； D ．715715,88a b b a ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭． 25．设实数0abc ≠，bc a ，ca b，abc 等成等差数列，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．b ac ≤；B ．2b ac ≥；C ．222a b c ≤≤；D ．2a bb +≤． 26．已知()()2tan cot 100x x θθθπ-++=<<，且满足3213n x x x+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=，则θ的值是（ ）A ．5,66ππ； B ．,63ππ； C ．2,33ππ； D ．25,,,3366ππππ． 27．设0a >，则极坐标方程()()1cos 0a ρθθπ=-≤≤所表示的曲线的大致图像是（ ）28．设数列{}n a 、{}n b 满足1,n n n b a a n -=-=l ，2，3，…，如果010,1a a ==，且{}n b 是公比为2的等比数列，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，那么limnn nS a →∞=（ ）A ．0；B ．12； C ．1； D ．2．29．复平面上的点012z i =+关于直线:22l z i z --=的对称点的复数表示是（ ）A ．i -；B ．1i -；C ．1i +；D ．i ．30．设实数1r >，如果复平面上的动点z 满足z r =，则动点1z zω=+的轨迹是（ ）A ．焦距为4的椭圆；B ．焦距为4r 的椭圆；C ．焦距为2的椭圆；D ．焦距为2r的椭圆．31．给定一组向量()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，()123,,c c c c =，如果存在不全为零的实数1k 、2k 、3k ，使得1230k a k b k c ++=，则称向量组a 、b 、c 是线性相关的．下面各组向量中，哪一组向量a 、b 、c 是线性相关的？（ ）A ．()()()1,2,1,1,3,2,3,1,0a b c ==-=；B ．()()()1,2,1,1,3,2,0,1,1a b c ==-=-；C ．()()()1,2,0,1,3,2,0,1,1a b c ==-=-；D ．()()()1,2,1,1,0,2,0,1,1a b c ==-=-．32．设向量()cos cos ,cos sin ,sin x θϕθϕθ=，cos siny θψθψθ⎫=⎪⎭，其中02πθ≤≤，如果x y =，那么向量x 和y 的夹角的最大值是（ ）A ．2π；B ．3π；C ．23π；D ．6π．2009年名牌大学自主招生考试试题(1)详解适用高校：复旦大学选择题（每题5分，共160分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．[答案]D[解答]因为函数()()01x f x a a =<<在R 上单调递减，()()1m g x x m =>在R +上单调递增，且1,01x y a b >><<<，所以x y y a a b <<，选(D) ．[评注]此题也可以用指数函数图像或特殊值法来解决． 2．[答案] A ． [解答]当1x >时，12111x y x x-==-++在()1,+∞单调递增，而()f x 在()1,+∞上单调递减，由复合函数的单调性，知01a <<．理由()f x 为奇函数及复合函数的单调性，选(A) ． 3．[答案]A ．[解答]依题意，不等式210ax bx ++<对一切x ∈R 恒成市，所以220,4040a b a b a <⎧⇒<<⎨-<⎩，无解，选(A)． 4．[答案]B ．[解答]若集合(4)与X 相等，在集合(4)中，而不属于X ，与集合(4)的定义矛盾．集合(1)、(2)、(3)均与X 相等． 5．[答案]A ．[解答]∵)4222log log log log x y z ++=，又∵12xyz y z =++≥，8≤，故)2log 3≤．6．[答案]D ．[解答](D)不正确，当A ∩B ≠∅时，取x ∈A ∩B ，则()1A B f x ⋃=，而()()2A B f x f x +=．等式不成立．7．[答案]D[提示]用下凸函数的图像下凸性． 8．[答案]H[解答]依题意知，21,11x x -≤≤≤，选(B)． 9．[答案]B[解答]曲线C 1的方程是1210x y -=，C 2与C 1为反函数，选(B)．10．[答案]C ．[评注]此题考查学生的空间想象能力．[解答]正()3n n ≥边形的一个内角()2n nπθ-=，若用同样大小的一种正多边形可以平铺整个平面(没有重叠)，则存在k N *∈，使2k θπ=，即24222n k n n ==+--，其中使得k 为正整数的n 只有3、4、6 三个值，选(B)． 12．[答案]D ．[解答]设θ是菱形的一个小于2π的内角，菱形的内切圆半径为r ，边长为a ，则菱形的高2h r =，所以1sin h a kθ==，选(D)． 13．[答案]A ．[解答]由题意知这两个方程表示的两条直线平行，所以12b a a b=≠---，选(A) ． 14．[答案]B ．[解答]依题意知方程1sin 62a x π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭在()0,2π上有两个不同的解，所以 111,211.22a a -⎧-<<⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩解得12a -<<或23a <<．选(B) ． 15．[答案]D[解答]要使0n 满足题意，其实只需0n 与10互质即可，选(D)． 16．[答案]C ．[解答]原话意味着当x 在区间[],a b 内时，()f x ≥0也有可能成立，选(C)． 17．[答案] B ．[解答]“任意”的否定是“存在”． 18．[答案] A[解答] 一次分裂后，两个细胞全死了的概率是14； 一次分裂后，两个细胞有一个存活，但两次分裂后全死了的概率为18； 一次分裂后，两个细胞全部存活，但两次分裂后全死了的概率为164； 所以两次分裂后还有细胞存活的概率是111391486464---=． 19．[答案]D[解答]()211!1!2n C n n n +=+种．[解答]用容斥原理．包含A 的子集有2n m -个，包含B 的子集有2n k -个，既包含A 又包含B 的子集有2n m k --，所以既不包含A 也不包含B 的子集的个数有2222n n m n k n m k ------+个．21．[答案]C[解答]如图，过点P 作PQ ⊥A 1B 1，交A 1B 1于点O ，则PQ ⊥面A 1B 1C 1，过Q 作QE ⊥A 1C 1，交A 1C 1于点E ，作QF ⊥B 1C 1，交B 1C 1于点F ．由二面角的平面角的定义，知,PEQ PFQ αβ∠=∠=设,QE x QF y ==，则311,tan ,tan x y x yαβ+===． 所以()83tan 113x y xy αβ++=--≥． 22．[答案] B[解答]当四个小球互相外切，且都与大球内切时，小球半径r 最大，此时6r r R +=，所以r 的最大值为636R +．23．[答案]C[提示]依题意，这三条直线共点或其中有两条互相平行，分情况解得2,0,1k =--． 24．[答案]A[解答]由余弦定理得7cos 8A =，向量AB 所对应的复数为a bi +，向量AB 顺时针（或逆时针）旋转7arccos 8，且将模长变为原来的43倍可得到向量AC ，所以向量AC 对应复数()471538a bi i ⎛⎫+± ⎪ ⎪⎝⎭，选(A) ．25．[答案]D[解答]依题意，()22222222a c b a b ac b =+≥，所以222a c b ac ⎛+⎫ ⎪⎝⎭≤≤．所以2a cb +≤，选(D)． 26．[答案]B [解答]由2312x x =-，解得3x =-或33，又∵21x <，∴33x =，代人原方程tan cot θθ+=tan 3θ=(B)．27．[答案]C ． [解答]特殊值法．取3πθ=，2π，π，经排除，选(C)． 28．[答案]D[解答]12,21n n n n b a -==-，求和得122n n S n +=--，因此所求值为2．29．[答案]D[解答]由复数模的几何意义，知:20l x y +-=，点(1，2)关于直线l 的对称点是(0，1)，选(D)． 30．[答案]A[解答]设()cos sin z r i θθ=+，(),w x yi x y R =+∈．由1w z z =+ 得1cos ,1sin ,x r r y r r θθ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以w 表示椭圆2222111x y r r r r +=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选(A)． 31．[答案]A[解答]向量a 、b 、c 是线性相关的充分必要条件是它们的坐标行列式111a b c 222a b c 123c c c 0=．32．[答案]A [解答]∵1x =，∴1cos 13y ==，解得6πθ=．∴()3cos ,x y ϕφ⎡=-⎢⎣⎦，向量x 和y 的夹角的最大值为2π．。