数列（二）复习题第I 卷（选择题）一．选择题1.已知{a n }是等比数列，其中|q|＜1，且a 3+a 4=2，a 2a 5=﹣8，则S 3=（ ）A ．12B ．16C ．18D ．242.已知等差数列{a n }中，a 2=2，d=2，则S 10=（ ）A ．200B ．100C ．90D ．803.已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2为（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．2D ．34.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=3，a 6=11，则S 7等于（ ）A ．13B ．35C ．49D ．635.已知等比数列{a n }中，a 5=4，a 7=6，则a 9等于（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106.等差数列{a n }中，a 4+a 8=10，a 10=6，则公差d 等于（ ）A ．41 B ．21 C ．2 D ．﹣21 7.已知等比数列{a n }的首项a 1=1，公比q=2，则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 11=（ ）A ．50B ．35C ．55D ．468.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若95a a 35 ，则59S S=（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．21 9.等差数列{a n }和{b n }，它们的前n 项之和分别为S n 和T n ，若=，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，2a n 2=a n+12+a n ﹣12（n≥2），则a 6等于（ ）A ．16B ．8C ．22D ．411.数列{a n }满足，则a n =（ ） A ．B ．C ．D ．12.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17＜0，S 18＜0，则11a S ，22a S，…，1515a S 中最大的项为（ ）A ．77a S B ．88a S C ．99a SD ．1010a S第II 卷（非选择题）13.已知数列{a n }中，a n ≠0，a 1=1，2a 1a 1n1n +=+则a 20的值为 ． 14.若数列{a n }满足，则a 2017= ．15.已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于 ． 16.设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 三．解答题17.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4． （1）求{a n }的通项公式；（2）设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和．18.（12分）已知等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26，{a n }的前n 项和为S n ． （1）求S n ； （2）令 b n =nS 1（n ∈N +），求数列{b n }的前n 项和T n ．19.在等差数列{a n }中，a 10=30，a 20=50． （1）求数列{a n }的通项a n ； （2）令 b n =2，证明数列{b n }为等比数列；（3）求数列{（2n ﹣1）b n }的前n 项和T n ． 20.已知数列a n 的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）（n ∈N *）在函数f （x ）=3x 2﹣2x 的图象上， （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设1n n n a a 3b +⋅=，求数列b n 的前n 项和T n ．21.已知数列{a n }满足a n+1=3a n +2（n ∈N *），且a 1=2． （1）求证：数列{a n +1}是等比数列； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ． 22.已知等差数列{a n }中，a 1=﹣60，a 17=﹣12． （1）该数列第几项起为正？（2）前多少项和最小？求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值 （3）设T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |23.已知数列{}n a 满足112a =，且122n n n a a a +=+.（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 24.数列}{n a 满足*11),1()1(,1N n n n a n na a n n ∈+++==+.（1）证明：数列}{na n是等差数列； （2）若n n n a a a a a T 14321)1(+-++-+-= ，求20T数列2 试卷答案1.A.2.C【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故选：C．3.D【解答】解：a1=a2﹣2，a5=a2+6∴a22=a1a5=（a2﹣2）（a2+6），解得a2=3故选D4.C【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C．5.C【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q2===，∴a9=a7q2=6×=9故选C6.A【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5．又a10=6，则．故选：A．7.C【解答】解：∵{a n}是等比数列a1=1，公比q=2∴a1a11=a62=a1q5=25∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…a11）=log2（a1a11）5=log2（a6）11=log2255=558.A【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．9.C【解答】解：由等差数列{a n}与{b n}的性质和前n项和公式可得：===，∵，∴===，故选：C．10.D【解答】解：∵正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，2a n2=a n+12+a n﹣12（n≥2），∴a n+12﹣a n2=a n2﹣a n﹣12，∴数列{a n2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，∴a n2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴=16，∴a6=4，故选D．11.B【解答】解：∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，可得a n=．n=1时，a1=，上式也成立．则a n=．故选：B．12.C【解答】解：∵等差数列{a n}中，S17＞0，且S18＜0，即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0，∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，∴等差数列{a n}为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，则＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，∴最大，故选：C13.【解答】解：∵，∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴a20==，故答案为：．14.2【解答】解：数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2 a5=1﹣=，…，∴a n+3=a n，数列的周期为3．∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案为：215.5【解答】解：∵{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，∴a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，∵a n＞0，∴a3+a5=5．`16.64【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值： =26=64．故答案为：64．17.【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．18.【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，联立解得a1=3，d=2，∴{a n}的前n项和为S n=3n+=n（n+2）．（2）==，∴数列{b n}的前n项和T n=++…++==﹣．19.【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a n=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得，解得．∴a n=12+2（n﹣1）=2n+10；数列{a n}的通项a n=2n+10；（2）证明：∵a n=2n+10，∴b n==22n=4n，∴==4，∴数列{b n}是以首项b1=4，公比为4的等比数列．（3）∵（2n﹣1）b n=（2n﹣1）4n，∴T n=1•4+3•42+…+（2n﹣1）4n，①4T n=1•42+3•43+…+（2n﹣3）4n+（2n﹣1）4n+1，②①﹣②，得﹣3T n=4+2×42+…+2×4n﹣（2n﹣1）4n+1，=﹣4﹣（2n﹣1）4n+1，=（4n+1﹣4）﹣4﹣（2n﹣1）4n+1=×4n+1﹣，T n=×4n+1+，数列{（2n﹣1）b n}的前n项和T n，T n=×4n+1+．20.【解答】解：（1）由题意可知：S n=3n2﹣2n,当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=3n2﹣2n﹣3（n﹣1）2+2（n﹣1）=6n﹣5．又因为a1=S1=1..所以a n=6n﹣5．（2）所以T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．21.【解答】解：（1）证明：∵，a1+1=3，∴{a n+1}是首项为3，公比为3的等比数列．（2）由（1）可得,∴，．22.【解答】解：（1）设等差数列{a}的公差为d，na1=﹣60，a17=﹣12．可得﹣60+16d=﹣12，解得d=3，则a n=﹣60+3（n﹣1）=3n﹣63，n∈N*，由a n＞0，可得n＞21，由于公差d＞0，等差数列{a n}为递增数列，则该数列第22项起为正；（2）由a n=3n﹣63可得n≤21可得a n≤0，n＞21时，a n＞0．则前20或21项和最小．且最小值是×20×（﹣60﹣3）=﹣630；（3）由S n=n（﹣60+3n﹣63）=n（3n﹣123），当n≤21，n∈N*时，T n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n=n（123﹣3n）；当n≥22，n∈N*时，T n=S n﹣S21﹣S21=n（3n﹣123）﹣2×（﹣630）=．即有T n =．23（1）∵122n n n a a a +=+，∴1212n n n a a a ++=，∴11112n n a a +-=， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. （2）由（1）知()11113122n n n a a +=+-⨯=，所以23n a n =+， ∴()()41143434n b n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++++⎝⎭，1111114455634n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦114444n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭ 24（1）由已知可得111+=++n a n a n n ，即111=-++nan a n n ， 所以}{n a n 是以111=a为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得n na n=，所以2n a n =， n n n a a a a a T 14321)1(+-++-+-= ，210210)393()3973()1920)(1920()34)(34()12)(12()20()19(432122222220-=+-=+++-=-++++-++--=-++-+-=∴ T。