2014届江苏高考数学考前指导卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1．已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x <a }，若A B={x |5<x <6}，则实数a 的值为 ． 2．设(1＋2i)2=a +b i(,a b ∈R )，则ab ＝ ．3．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则φ＝ ．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．5．从3位男生1位女生中任选两人，恰好是一男一女的概率是________．6．已知函数2()ay x a x=+∈R 在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =________．7．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是________．8．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1的取值范围为 ．9．在△ABC 中，若AB ＝1，|||AC AB AC BC =+=，则BA →·BC→|BC →|＝ ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．11．已知三棱锥P ABC -的底面是边长为3的正三角形，其三条侧棱的长分别为3，4，5，则该三棱锥P ABC-的体积为 .12．已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是 ．13．已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值为 ．14．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝c a ＋b ＋bc的最小值是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos B ＝c cos B ＋b cos C ．(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m·n 取最大值时，tan C 的值．16．如图，在四棱锥P - ABCD 中，已知AB =1，BC = 2，CD = 4，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ．（1）求证：BD ⊥平面P AC ；（2）已知点F 在棱PD 上，且PB ∥平面F AC ，求DF ：FP ．A B C D F P17．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）若建立函数y ＝f (x )模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f (x )模型的基本要求，并分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数y ＝10x －3ax ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．18．椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P 作直线l ，使得l 与椭圆C 有 且只有一个公共点，设l 与y 轴的交点为A ，过点P 作与l 垂直的直线m ，设m 与y 轴的交点为B ，求证：△P AB 的外接圆经过定点．19．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x ．(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )<x －mx有解，求实数m 的取值范围．20．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有33()n n S S 成立，求数列{a n }的通项公式； （2）对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合．(ⅰ)求a 1，a 2的值；(ⅱ)求数列{a n }的通项公式．参考答案一、填空题1．6 2．-12 3．π2 4．x 220－y 25＝1 5．126．0 7．108．(1, ＋∞) 9．12 10．533或－ 31112．(－1,1) 13．2 14．2－12二、解答题15．(1)由题意，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ．因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0．所以cos B ＝22．因为0＜B ＜π，所以B ＝π4．(2)因为m·n ＝12cos A －5cos 2A ，所以m·n ＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435． 所以当cos A ＝35时，m·n 取最大值．此时sin A ＝45(0＜A ＜π2)，于是tan A ＝43．所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝7．16．证明（1）∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB 平面ABCD = AB ， P A ⊥AB ，P A ⊂平面P AB ，∴ P A ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ．连结AC BD O =，∵AB = 1，BC = 2，CD = 4， ∴12AB BC BC CD ==． ∵AB ∥CD ，BC ⊥CD ， ∴Rt ABC ∆∽Rt BCD ∆． ∴BDC ACB ∠=∠．∴90ACB CBD BDC CBD ∠+∠=∠+∠=︒．则AC ⊥BD ．∵AC PA A =，∴BD ⊥平面P AC ．（2）∵PB //平面F AC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面F AC= FO ，∴FO ∥PB ，∴DF DOPF OB=. 又∵AB //CD ，且14BO AB OD CD ==，∴DF ：FP=4:1. 17．(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )，按公司对函数模型的基本要求，函数y ＝f (x )满足：当x ∈[10,1 000]时，①f (x )在定义域[10,1 000]上是增函数；②f (x )≤9恒成立；③f (x )≤x5恒成立．对于函数模型f (x )＝x150＋2．当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数，f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2＜9，所以f (x )≤9恒成立．但x ＝10时，f (10)＝115＋2＞105，即f (x )≤x5不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．(2)对于函数模型f (x )＝10x －3a x ＋2，即f (x )＝10－3a ＋20x ＋2，当3a ＋20＞0，即a ＞－203时递增；要使f (x )≤9对x ∈[10,1 000]恒成立，即f (1 000)≤9,3a ＋18≥1 000，a ≥9823；要使f (x )≤x 5对x ∈[10,1 000]恒成立，即10x －3a x ＋2≤x 5，x 2－48x ＋15a ≥0恒成立，所以a ≥1925．综上所述，a ≥9823，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328．P FDCBA O18．(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程22221x y a b +=，得y ＝±2b a ．由题意知22b a＝1，即a ＝2b 2，又e ＝c a ＝32， 所以a ＝2，b ＝1． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=． (2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立0022,1,4y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0． 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0．又220014x y +=，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－004x y ． 所以直线l 方程为0014x x y y +=，令x =0，解得点A 01(0,)y ,又直线m 方程为00043y y x y x =-,令x=0，解得点B 0(0,3)y -,△P AB 的外接圆方程为以AB 为直径的圆方程，即2001()(3)0x y y y y +-+=．整理得：220013(3)0x y y y y +-+-=，分别令2230,0,x y y ⎧+-=⎨=⎩解得圆过定点(．19．(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x >0)，1°当a ＝0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；2°当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述：当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减． (2)由题意：e x <x －mx有解，即e x x <x －m 有解，因此只需m <x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可，设h (x )＝x －e x x ，h ′(x )＝1－e x x －e x 2x＝1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x ， 因为x ＋12x≥212＝2>1，且x ∈(0，＋∞)时e x >1，所以1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x <0，即h ′(x )<0．故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h (x )<h (0)＝0，故m <0．20．(1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为33()n n S S =对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝(2a 1＋d )3.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ≥0． 可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2．当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，33()n n S S =成立；当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以33()n n S S =．因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1．(2)(ⅰ)记A n ＝{1,2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1．对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1,2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1,2,3,4}，故1＋a 2＝4，所以a 2＝3．(ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数．而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1,2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n +1，a n +1＋i ，|a n +1－i |(i ＝1,2，…，S n )，共2S n ＋1个数． 所以，S n +1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1．又S n +1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12·13n -－12＝12·3n －12． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12·3n －12－⎝⎛⎭⎫12·13n -－12＝13n -，而a 1＝1也满足a n ＝13n -． 所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝13n -．。