.
.(提示：二项式定理的逆用)
Thank you！
( x ∈ R), 则
例4、求证： 3
2n+2
− 8n − 9(n ∈ N )能被64整除。
*
今天是星期三， 练 、今天是星期三，那么 天是星期几？ 天是星期几？
100
8 天后的这一 1000
那么 天后 3
− r 100 r 100
100
8
= 7 +1） （
=C 7
0 100 100
是星期几？
1 99 100
精确到0.01的近似值。 的近似值。 例5、求 1.997 精确到 、 的近似值
5
课堂练习： 课堂练习：
1 2 3 n 1. C n + 2C n + 4C n + L + 2 n −1 C n 等于 （ ） n n n B. 3 n − 1 C. 3 − 1 D. 3 A. 3 −1
2 2 x 2 + 3 x + 2 的展开式中x的系数为（ 2．在 的展开式中x的系数为（ ） A．160 D．800 B．240 C．360
4 求(x2 + x −1)9 (2x +1）展开式中所有系数之和为
之和为
，所有x的偶次项系数之和为
。
n n
一般地， 一般地，对于多项式
g(x) = ( px+ q) = a0 + a1x +L+ an x
[g(1) -g(-1)]/2 [g(1) +g(-1)]/2
g(x)的常数项为 的常数项为g(0),各项系数和为 g（1） 的常数项为 各项系数和为 （ ） g(x)的奇次项系数之和为 的 g(x)的偶次项系数之和为 的
1
例1、若( x + 、
2 x
4
)n 展开式中前三项系数成等差
数列， 项及其二项式系数和系数； 数列，求（1）展开式中第 项及其二项式系数和系数； ）展开式中第3项及其二项式系数和系数 （2）展开式中含x的一次幂的项； ）展开式中含 的一次幂的项； 的一次幂的项 （3）展开式中是否存在常数项； ）展开式中是否存在常数项； （4）展开式中所有 的有理项； ）展开式中所有x 的有理项； 二项式系数最大的项 （5）展开式中二项式系数最大的项，以及 ）展开式中二项式系数最大的项， 系数最大的项。 系数最大的项。 最大的项
(
)
5
3.求 3.求(1+ x) + (1+ x)2 +L+ (1+ x)16 的展开式中 x3 项的系数. 项的系数.
4.求值： 4.求值： 求值
(1)1+ C ⋅ 2 + C ⋅ 2 + C ⋅ 2 + C ⋅ 2 + C ⋅ 2
1 5 2 2 5 4 3 5
7
6
4 5
8
5 5
10
(2)3 − 3 C + 3 C − 3 C + 3 C − 3 C
n 1 2 3 4. 2Cn + 4Cn + 8Cn + L + 2n Cn = 1 3 5 1 + C5 ⋅ 22 + C52 ⋅ 24 + C5 ⋅ 26 + C54 ⋅ 28 + C5 ⋅ 210 = 1 2 3 4 5 6 310 − 39 C10 + 38 C10 − 37 C10 + 36 C10 − 35 C10 + 34 C10 7 8 9 − 33 C10 + 32 C10 − 3C10 =
100
+ C 7 +L+ C 7
99 1 100 100 100 99 100
+L+ C 7 + C 0 99 = （C1007 +L+ C ） 1 7 +
余数是1 所以是星期四 余数是1， 所以是星期四
变式引申： 变式引申：填空 1） 2 ）
30
55
除以 的余数是 − 3 除以7的余数是
； 。
2） ） 除以8的余数是 55 + 15 除以 的余数是
10 9 1 10 8 2 10 3 10 6 4 10 5
5 10
+ 3 C − 3 C + 3 C − 3C
4 6 10 3 7 10 2 8 10
9 10
作业： 作业：
1 1. 已知( + 3x) n的展开式中，末三项的二项式系数和等于22 x ①求第3项；②求常数项； ③求二项式系数最大的项和系数最大的项。 2.在(2 x − 3)3 (1 + x)5 展开式中x 4的系数为 3. 求证： 10 − 1能被1000整除. 99
变式练习： ①(1+x-2y) , 各项系数之和为 其中不含x的项系数之和为 不含y的项系数之和为 ②(1 − 2x)
2009 5
, ，
, .2Biblioteka 09既不含x也不含y的各项之和为 = a0 + a1x + L + a2009 x . a2009 a1 a2 + 2 + L+ 2009 = 2 2 2
C =C
m n
n− m n m −1 n
设Tr+1项的系数最大，则 Tr+1的系数 ≥ Tr的系数 Tr+1的系数 ≥ Tr+2的系数
r n n n n
C
m n +1
=C +C
m n
③增减性（最大二项式系数） 增减性（最大二项式系数） ④二项式系数之和
0 n 1 n 2 n
C + C + C +L+ C +L+ C = 2
变式：( x 1 24 x )n 展开式中系数绝对值最大的项为？
5 5 例2、 在（1 + 2 x） 1- x）的展开式中x3的系数是 、 （
变式：在 (1 + x 2 ) 2 (1 − x ) 5 的展开式中 x 5的系数是
赋值法
例3、 、
(1 + x)5 展开式中所有系数之和为 所有x的偶次项系数之和为 。 ，所有x的奇次项系数 ，所有x的奇次项系数之和为 ，
1.3.3二项式定理的 1.3.3二项式定理的 应用
二项定理
一般地，对于 一般地，对于n ∈N*有 有
(a + b) = C a + C a
n 0 n n 1 n
n−1
b+C a
2 n r
n−2
b +
2 n
L+ C a
r n
n−r
---------
b +L+ C b
n n
T r+1
二项系数性质
①对称性 ②递推性