解析： 该瓶的容积相当于底面与瓶底面相同，高为 25 cm 的圆柱体的体积 .
答案：
解： 1L=1000cm3，由题意得瓶子的底面积为 1000 25
（1） 瓶内溶液的体积是 40× 20=800（cm3）
（2） 设圆柱形杯子的内底面半径为 r ，则 πr2× 10=800，
40 （cm2）
∴ r= 80 ≈5.0（cm）
解析：从给出的运算过程中找出规律，然后依规律计算
答案：（ 1） 5
5
5 5,
26
26
验证： 5 5
125 25 5 5 5 ;
26 26
26
26
n (2) n- 2
n n2
(n 为大于 0 的自然数 ).
n1
n1
小结： 此类规律型问题的特点是给定一列数或等式或图形，要求适当地计算，必要的观察，猜想， 归纳，验证，利用从特殊到一般的数学思想，分析特点，探索规律，总结结论 .
（2）对于含有根号的计算，其结果不一
例 5． 如图 3-1 所示，一个瓶子的容积为 1 升，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶 液的高度为 20 cm，倒放时，空余部分的高度为 5 cm，现把瓶内的溶液全部倒在一个圆柱形的 杯子里，杯内的溶液的高度为 10 cm，求： （1）瓶内溶液的体积； （2）圆柱形杯子的内底面半径（π≈ 3.14,结果精确到 0.1 cm）.
者视线能达到的最远距离为 d，则 d= 2hR ，其中 R 是地球半径（通常取 6 400 km）．小丽站 在海边一块岩石上，眼睛离海平面的高度 h 为 20 m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求 此时 d 的值．
解析：注意每一个字母所代表的含义 . 答案：解：由 R=6 400 km，h=0.02 km,
解析：思考平方根和立方根的含义，注意特殊的数字。 答案：（ 1）± 1 1 1
（ 2） 0 （ 3）± 1，0 （ 4） 1， 0
4. 求下列各式中的 x.
（1）x2-5=4；
（2）（x-2)3=-0. 125
解：（1）x=பைடு நூலகம்3; (2)x=1. 5.
5. “欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远，如图 3-2，若观测点的高度为 h，观测
这就是说，如果 ____x2_=a___，那么 x 叫做 a 的平方根，记为
a
平方根的性质：（ 1）正数有 __两 ___个平方根，它们 互为相反数 _；（ 2） 0 的平方根是 ___0__； （3）___负数 _没有平方根 .
2. 立方根： 立方根：一般地，如果一个数的 ___立方 _____等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根 . 这就是说，如果 ___x3_=a_____，那么 x 叫做 a 的立方根 . 立方根的性质：（ 1）正数的立方根是 ___正数 _____；（ 2）负数的立方根是 ___负数 _____；（ 3）
25 x=± 4 ；（下）
5 （3） （x-3）2=25
x-3=±5 x=8 或 x=-2
小结：
解这类题目要根据平方根的意义求解，所以先将方程转化为“ x2=a”的形式，再用开平方法求 解，这里要注意：当 a＞0 时，其平方根有两个，所以方程有两个解 .
例 4 计算下列各式的值：（1） 0 3 27 1 3 0.125 1 63（2）（2 2 3 ）（- 2 3 ）
实数
练习题
温故而知新：
1. 算术平方根与平方根： 算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的 __平方 ____等于 a，即 __x2_=a___，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根， 0 的算术平方根是 0. 平方根：一般地，如果一个数的 __平方 ____等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根（或二次方根），
4
64
解析： 先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减 .
答案：
解：（1）原式 =0-3- 1 -（ -0.5）+ 1
2
64
111 =0-3- + +
228 =-2 7 （下）
8
（ 2）原式 =2 2 3 - 2 3
=（2 2 2 ）+（ 3 3 ）
=2
小结： （1）有理数的运算法则及运算律在实数中仍然适用； 定是无理数 .
解析：先估算 15 的值的范围，再确定其整数部分，余下的即为小数部分。
答案：解：∵ 9 ＜ 15 ＜ 16
即 3＜ 15 ＜4
∴ 15 的整数部分 m=3， 15 的小数部分 n= 15 -3
小结： 确定一个无理数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位） ；确定小数部分的方法是：首先 确定其整数部分，然后用这个数减去整数部分即得小数部分 .
D. 0
解析： 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 （a+1）+（a-3）=0，解得 a=1.
.（下）
答案： C
小结： （1）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数； （2）一个正数的立方根是一个正数 .
例 2 已知 m 是 15 的整数部分， n 是 15 的小数部分，求 m,n..
先估算 15 的值的范围，再确定其整数部分，余下的即为小数部分 .
举一反三：
1. 某正数的平方根为 a 和 2a 9 ，则这个数为（） .
3
3
A. 1
B. 2
C. 4
D. 9
解析：由平方根定义知 a 与 2a 9 互为相反数，
3
3
所以 a + 2a 9 =0, 33
解得 a=3，
所以这个数的平方根为± 1,
所以这个数为 1.选 A.
2. 如图 3-3，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 -1 和 3 ，点 B 关于点 A 的对称点为点 C，则点 C 所表示的数为（ ） .
小结： 解此类等积变形问题的关键是根据体积不变确定数量关系或建立等量关系 .
例 6 规律探究：观察
2 2-
8
4
2 =2
2 ,即
2
2
2 2； 3
3
55
5
5
5
5
10
27
93
3
=3
3 ,即 3
3 =3
3.
10
10
10
10 10
（1）猜想
5
5 等于什么，并通过计算验证你的猜想；
26
（2）写出符合这一规律的一般等式 .
得 d= 2hR = 2 0.02 6 400 =16(km). 答：此时 d 的值为 16 km.
例 3 求下列各式中的 x:（1）x2-144=0;（ 2） 25x2-16=0；（3）（x-3)2＝25.
解析： 先通过移项、系数化为 1，将原式变形为 x2=a(a≥ 0)的形式，再根据平方根的定义求出未知数 x 的值 .
答案： 解：（1）x2-144=0
x2=144 x=± 12；（下） （2）25x2-16=0 x2= 16
A. -2- 3 B. -1- 3
C. -2+ 3
D. 1+ 3
解析：∵ AB= 3 +1, ∴C 点表示的数为 -1-（ 3 +1)=-2- 3 . 选 A
3. (1)1 的平方根是
；立方根为
；算术平方根为
．
(2)平方根是它本身的数是
．
(3)立方根是其本身的数是
．
(4)算术平方根是其本身的数是
.
0 的立方根是 ____0____，即 3 0 ＝_____0___.
3. 实数的概念与分类：
__整数
正整数 0
有理数 实数
分数
负整数 正分数
负分数
有限小数或无限循环小数
无理数 _
正无理数 负无理数
无限不循环小数
例 1 一个正数 x 的平方根分别是 a+1 与 a-3，则 a 的值为（ ）.
A. 2 B. -1 C. 1