第十届“创新杯”全国数学邀请赛
小学六年级试卷
一、选择题 （4 分× 10=40 分）（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的） 。

1．2012+2011-2010-2009+2008+2007-2006-2005+ +4+3-2-1=( )
A ．2012
B ．2010
C ．4020
D ．4048
2．有 n 个自然数（数可以重复）其中包括 2012，不包括 0，这 n 个自然数的平
均数是 572。

如果去掉 2012 后，剩下 n-1 个数的平均数为 412，那么这 n 个 数中最大的数可以是（ ） A ．2012 B ． 4024 C ．3700 D ．3800
1 3333
1 1 7 ）
3．计算 9999
6666
2012 的结果为（
6
2
9 9
A ．3333
B ．1331
C ．1332
D ．1321
4．某次知识竞赛共 5 道题，全班 52 人，答对一题得 1 分。

已知全班共得 181
分。

已知每人至少得 1 分，且得 1 分的有 7 人，得 2 分和得 3 分的人一样多， 得 5 分的人有 6 人，则得 4 分的有（ ）人。

A ．25
B ．30
C ． 31
D ．35 5．李军有一个闹钟，但它走时不准，这天下午 6∶ 00 把它对准北京时间，可到
晚上 9∶00 时，它才走到 8∶ 45。

第二天早上李军看闹钟走到 6∶17 的时候
赶去上学，这时候北京时间为（ ） A ．7∶15
B ．7∶24
C ． 7∶ 30
D ．7∶35
6．A 、B 、C 为正整数，且 A
1 24
，则 A+2B+3C= （
）
B
1
5
C 1
A ．10
B ．12
C ．14
D ．15
7．下列图形，第 10 个图中△比○多（
）个
A ．44
B ．60
C ．56
D ．45
（ ）
（ 2
（ 3 1
8．某校学生到郊外植树，已知老师是学生人数的 ） 1。

若每位男生种 13 棵树，女
3
生每人种 10 棵树，每个老师种 15 棵树，他们共种了 204 棵树，那么老师有 （ ）人。

A ．6 B ．7 C ．5
D ．4
9．如图，每个小方格面积为 1，那么△ ABC 面积为（
）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．11.5
A
B
C
10．某工程，可由若干台机器在规定时间内完成。

如果增加两台机器，则节省了
1
的时间，如果减少两台机器，就要推迟
2
小时做完。

那么一台机器完成这
8
3
个工程需要（
）小时
A ．56
B ．60
C ．58
D ．42
二、填空题 （6 分× 10=60 分）
11．已知 AA BB C ABC ABCABC ，其中 A 、B 、C 、各代表 0，1，2，3，4，
5，6，7，8，9 中的一个数字， 要使等式成立， 则三位数 ABC =____________ 12．如下左图，在一个圆圈上有 n 个点，小红从 A 点出发，沿逆时针方向跳动
前行，每跳一步隔过的点数相同，希望一圈后能回到
A 点，他先每隔两个 点跳一步，结果能跳到
B 点，他又试着每隔 4 个点跳一步，也只能跳到 B
点，最后他每隔 6 个点跳一步，正好回到 A 点。

若 ＜＜
100 ，则
10 n
n=_________。

13．已知正六边形面积为 30 平方厘米，以其顶点为顶点作三个面积不同的三个
三角形，这三个三角形的面积之和为 ____________平方厘米 14．如上右图，在三角形 ABC 中，已知 BD=AB ，CE=AC ，∠ DAE= 1
∠BAC ，
3
则∠ BAC=________度。

15．游客在 9 时 15 分由码头划出一条小船顺流而下， 他欲在不迟于 12 时回到码
头，河水速度为每小时 1.4 千米，小船在静水中的速度为每小时 3 千米，他每划 30 分钟就休息 15 分钟，中途不改变方向，并在某次休息后立即往回划，他最多能离码头 ________________千米（游客休息时船在原地不动）
16．甲瓶中酒精浓度为 70%，乙瓶中酒精浓度为 60%，两瓶酒精混合后浓度为
66%，如果两瓶酒精各用去 5 升后再混合。

则混合后的浓度为为 66.25%， 则甲乙两瓶酒精分别有 _________升与 _________升。

17．由 1，2，3，4，5 五个数字组成没有重复数字的三位数，各个数字之和人奇数的共有 __________个。

18．有两排各有 100 个：5，8，11，14， ；3，7，11，15， 。

它们有 ____________
个共同的数。

19．如下左图，空心圆柱底面圆环外径和内径之比为 2∶1，若保持内径不变，外径
扩大成内径的 3 倍，则扩大后的空心圆柱的体积是原来体积的
______________倍。

20．如下右图， CDEF 为正方形，ABCD 是等腰梯形，上底 AD=23 ，下底 BD=35，则△ ADE 的面积为 _______。

三、解答题（第 21、22 题各 15 分，第 23 题 20 分，共 50 分）
21、一罐咖啡甲、乙两一起喝 14 天喝完，甲单独喝则要 18 天喝完；一斤茶叶两人一起喝 18 天喝完，乙单独喝则要 30 天喝完，假设甲在有茶叶的情况下坚决不喝咖啡，乙在有咖啡的情况下坚决不喝茶叶。

（Ⅰ）乙单独喝咖啡需要几天喝完 ?
（Ⅱ）甲单独喝茶需要几天喝完?
（Ⅲ）两人喝完一罐咖啡和一斤茶叶需要几天喝完?
22、将 9 个不同的正整数分别填入 3×3 的正方形格子中，要求四个 2× 2 的正方形中四个数之和都正好等于 100。

这 9 个正整数的总和的最小值是多少？
23、若 k 为正整数，则形如：n 1 2 3k 1
k k 1 的正整数n称之为三2
角形数。

比如： k=1，2，3，4，5 时依次得到的 n=1， 3，6， 10，15 都是三角形数。

（Ⅰ）写出三位数中最小的三角形数。

（Ⅱ）如果 n 是三角形数，证明9n+1 也是三角形数。

（提示： a、b 为任意二数，
2
2 2ab b 2）
下列计算公式： a ba
（Ⅲ）找出一个正整数a 和两个三角形数b(b≠1），n，使得an+b 也是三角形数，并给出简单的证明》（答案不唯一）。