33
2
x1
2

11
2
x3
2
2
31
2
x3 x1

33
u3 x3
22
u2 x2
31
1 u3 u1 ( ) 2 x1 x3
2012-9-28
25
§3-5 变形协调条件（相容条件）
23 x1
2

31 x2
PQ P Q P Q
' '' ' 平移 伸长＋转动 '
' Q Q du dr dr
'' '
x3
dr
P
Q P
u+du u
Q’’ Q’ P’
P’
——相对位移矢量
o
x1
r
dr
x2
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7
§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
11 21 31
12 22 32
23 33
13
11 2 21 2 31
2 12
22
2 32
2 13 2 23 33
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17
§3-3 应变张量和转动张量的坐 标变换式
U ij ui , j 1 2 (ui , j u j ,i ) 1 2 (ui , j u j ,i )
或
U ij ui , j ij ij
10
2012-9-28
§3-2 应变张量和转动张量
其中
ij
1 2
(ui , j u j ,i )
ij
29
§3-5 变形协调条件（相容条件）
对于多连域附加补 充条件办法为： 假想通过适当截断， 使域为单连域.
a
u
-
u+
b
在截断面 ab 两侧 u+i = u -i即为补充条件。
2012-9-28
30
作业：
1. 给定位移分量 u1= cx1(x2+x3)2, u2=cx2(x1+x3)2,u3=cx3(x1+x2)2 此处c为一个很小的常数，求应变张量ij 和转 动张量 ij 。 2. 将直角坐标系绕x3轴转动角，求新坐标系 应变分量的转换关系。
2012-9-28 28
§3-5 变形协调条件（相容条件）
结论： 应变张量 ij 满足变形协调方程是保证 单连域的位移单值连续解存在的必要和充 分条件。 对于复连域还需附加补充条件——位移单值 条件。 单连域：变形体内的任何一条封闭线当缩小时 均能变为一点，当不满足时为多连域。
2012-9-28
第三章 应变分析
§3-1 位移和（工程）应变 §3-2 应变张量和转动张量 §3-3 应变张量和转动张量的坐标变换式 §3-4 主应变、主应变方向、应变张量
的三个不变量
§3-5 变形协调条件（相容条件）
2012-9-28 1
§3-1 位移和（工程）应变
在第二章我们研究了应力张量本身和 体力、面力之间的关系式，即平衡规律。 本章将讨论变形体研究的另一个基本关系： 变形与位移之间的关系。当然要以小变形 假设为基础，位移和形变相对于变形体几 何尺寸是微小的。

2
12 x3
u3
2
(
u2 x1x3
u3 x1x2
x1x2

u1
2
x2 x3

u1
2
x2 x3

u2
2
x1x3 2
)
1

u1
2
x2 x3

11
2
x2 x3

x1
(
23 x1

31 x2

12 x3
，（角变形）＝两微元线段 l 夹角的改变量。
l
（工程）正应变：11、22、33 ， （工程）剪应变：12=xy、23=yz、31=zx
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4
§3-1 位移和（工程）应变
工程应变共有六个分量：
三个正应变，正应变以伸长为正，
三个剪应变，剪应变以使直角变小为正。
x3
dx1 dx3 P x1
根据商法则 令
du U dr
U ui , j ei e j U ij ei e j
为一个二阶张量——相对位移张量
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9
§3-2 应变张量和转动张量
2.2 应变张量和转动张量 相对位移张量 ui,j 包含了变形和刚体转动， 为了将两者分开，对 ui,j 进行整理，张量分成 对称和反对称张量之和。
2012-9-28
dx2 x2
x3
22dx2
x1
P
x2
23
5
§3-2 应变张量和转动张量
应变张量和转动张量是描述一点变形 和刚体转动的两个非常重要的物理量，本 节将讨论一下它们与位移之间关系，在讨 论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量.
2012-9-28
6
§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
类似可得，其它两个坐标平面转动矢量， 2 e2 1e1
2012-9-28 15
§3-2 应变张量和转动张量
综合三个坐标面的转动矢量 ： 1 k ek eijkijek 2
为转动张量的对偶矢量。

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16
§3-2 应变张量和转动张量
比较工程应变定义和应变张量，可得：
)
x1x2

(
12 x3

23 x1

)
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27
§3-5 变形协调条件（相容条件）
用指标符号表示：
ij ,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik 0
或 用张量表示：
emij enkl ik , jl 0
0
u i du ei dx j x j
u ui ei
r x je j
——（ a）
而
dx j e j dr ——(b)
dr dx j e j
将（b）式代入（a）式，得
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§3-2 应变张量和转动张量
du ui , j ei e j dr
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2
§3-1 位移和（工程）应变
1.1位移
x3
P
P
u
P’
o x1
r
x2
变形体任意点P的位移矢量 u ui ei
u 有三个分量。
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3
§3-1 位移和（工程）应变
1.2 (工程)应变
工程应变是通常工程中描述物体局部几何 变化，分为正应变和剪应变。

21
§3-5 变形协调条件（相容条件）
ij
1 2 (u i , j u j ,i )
因为ij 仅包含形变，由其求出位移时，刚体位 移是无法确定的，因此，位移 u 无法确定。
ij 分量之间必须满足一定的条件（方程），才 能由几何方程积分求出单值连续的位移场ui、
ij的分量必须满足的方程称为变形协调方程
在 xk 坐标系中，已知变形体内任一点应 变张量 kl 和转动张量 kl ，则在新笛卡尔坐 标系x’i中此点应变张量’ij和 ’ij 均可以通
过二阶张量的坐标转换式求出它们。 即：
Q
' ij
ik
'
Q
kl jl
'
ij Q
'
ik
'
Q
kl jl
'
Qi 'k
' ei ek Qki '
11，12= 21，22 纯变形
12= -21 纯转动
2012-9- 转动张量的对偶矢量

由纯刚体转动可见，12= -21，正好相当 于一个沿 x3 轴方向的转动矢量3e3，方向 e3 为 ，其大小 3:
3
1 2 (12 21 ) 1 2 (e12312 e213 21 )
§3-4 主应变、应变方向应变张量的三个不 变量 Ⅰ＝ 11 22 33 1 2 3 e
——体积应变
Ⅱ ＝ 1 2 2 3 31
Ⅲ 1 2 3
当 1 2 3 时（三个主应变不相等）， 三个主方向相互垂直。
x2
R dx2=1 P
dx1=1
Q
x1
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12
§3-2 应变张量和转动张量
x2 u 2 ,1 R’
u2 , 2
x2
R’’
u1,1 u1, 2 u2,1 u 2 , 2
Q’

dx2=1
R P’
相对位移
u1 , 2 x1

Q’’
dx2=1 P u1 、 u2 dx1=1 Q
dx1=1 u , 1 1 x1
或相容方程。
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
变形协调方程共有六个，可由几何方程直 接导出。即：
11
2
x2
2

22
2
x1
2
2
12
2
x2 x1

11